Bevezető fogalmak és alapvető összefüggések
Legyenek H1 és H2 tetszőleges halmazok. Bijektív leképezés⇒ a két halmaz között. Egy H halmaz számosságát |H| módon jelöljük. |H1| = |H2| módon jelöljük. (Előfordul a H1≅H2 jelölés is, pl. Ha két véges halmaz között létezik bijektív leképezés, akkor a halmazok elemszáma megegyezik. Az 'I' halmaz 10 elemből áll (|I|=10), és bijektív módon leképezhető a természetes számok {1,2,...,10} halmazára például úgy, hogy névsorba szedjük a tanulók neveit, és minden tanulóhoz hozzárendeljük a tanuló sorszámát.
(Megjegyzés: ha két azonos név szerepel, ezeket pl. részhalmazára (ahol n=|H| a 'H' halmaz elemeinek a száma). leképezést hozunk létre (ahol S={1,2,...,n} a sorszámok halmaza). inverz függvény. Legyen ℋ tetszőlegesen választott halmazokból álló halmazrendszer). A ℋ halmazrendszeren értelmezett ~ ekvivalenciareláció létrehozza a ℋ halmazrendszer egy osztályozását,⇒ ahol az egyes ekvivalenciaosztályokba egyenlő számosságú halmazok tartoznak. Az egyes ekvivalenciaosztályokba tartozó halmazok közös számosságát kardinális számnak nevezzük (vö. Borsodi-Göndöcs 1970: 73).
Ekvivalenciaosztályok és reprezentánsok
Összefoglalva: egy tetszőleges ℋ halmazrendszer esetén az egyenlő számosság alapján képzett ekvivalenciaosztályokba azok a (számosságilag ekvivalens) halmazok tartoznak, amelyek között bijektív leképezés valósítható meg (vagyis "ugyanannyi elemük van"). Ha egy ekvivalenciaosztályból kiválasztunk egy tetszőleges halmazt, azt az ekvivalenciaosztály osztályreprezentánsnak nevezzük. Mivel véges halmazok esetén egy halmaz számossága megegyezik a halmaz elemszámával, egy véges halmazokból álló ekvivalenciaosztály bármelyik osztályreprezentánsának az elemszáma megegyezik az ekvivalenciaosztályba tartozó halmazok közös elemszámával (ti. ebben az esetben minden ekvivalens halmaz elemszáma ugyanaz).
Számosságok és Cantor-tétel
az 'A' halmaz számosságilag ekvivalens a 'B' halmaz egy valódi Bs⊂B részhalmazával (azaz A~Bs, ill. (2) Az A és a B halmazok számossága akkor egyenlő, ha a halmazok bijektív módon leképezhetők egymásba. Véges halmazok esetén ez csak akkor lehetséges, ha a halmazok elemszáma megegyezik. A definíció alapján egy tetszőleges 'A' halmaz számossága sosem lehet kisebb, mint egy részhalmazának a számossága. Tegyük fel indirekt módon, hogy B⊆A és |A|<|B| teljesül. Ekkor azonban a definíció alapján A⊂B (valamint |A|≠|B|) teljesül, ami ellentmondás (mivel egy halmaz sem valódi része önmagának). Egy tetszőleges A halmaz mindig kisebb számosságú, mint a hatványhalmaza⇒ (azaz |A|<|2A| teljesül; ún. Cantor-tétel⇒).
Jelöljön ℋ ismét egy tetszőlegesen választott halmazokból álló halmazrendszert. Az 'A' halmaz nagyobb számosságú, mint a 'B' halmaz (azaz |A|>|B|), ha a 'B' halmaz kisebb számosságú, mint az 'A' halmaz (azaz |B|<|A|). teljes rendezési relációk. hasonlósági leképezésnek nevezzük. Szemléletesen azt mondhatjuk, hogy a φ(x) leképezés megőrzi a rendezési relációt vagy megtartja a rendezettséget az 'A' és 'B' halmazok között (vö. Bármely két véges, számosságilag ekvivalens és rendezett halmaz hasonló egymáshoz (Borsodi-Göndöcs 1970: 84).
Halmazok rendezése és példák
Legyen 'A' véges és rendezett halmaz, amelyre |A|=n teljesül, ahol n∈ℕ természetes szám. teljesül, vagyis létezik olyan φ(x) : A→{1,2,...,n} hasonlósági leképezés, amely megőrzi az 'A' halmaz rendezettségét. természetes számokat az x∈A halmazelemek sorszámának nevezzük. 1. 2. A halmazelmélet megalapozója és megteremtője az 1870-es években a német Cantor volt. Cantor gondolatai a végtelen valóságos létezésének meggyőződéséből fakadtak. Úgy gondolta, hogy végtelen elemszámú halmazok között is értelmezhetők az ugyanakkora, kisebb, nagyobb fogalmak.
Végtelen halmazok és megszámlálhatóság
Tekintsük alapként a ℤ+={Pozitív egészek számok} halmazát. Azt természetesnek tekintjük, hogy a ℤ-={Negatív egész számok} halmaza ugyanakkora számosságú. Az azonban már igen elgondolkoztató, hogy a P={Pozitív páros számok} halmaza is ugyanakkora számosságú, mint a pozitív egész számoké. Hiszen minden ℤ+-beli elemhez hozzárendelhető az ő kétszerese. A fenti halmazok tehát ugyanakkora számosságúak, hiszen mint láttuk, párba állíthatóak, pedig a ℤ+ halmaz tartalmazza T halmaz minden elemét és a ℤ+ valódi részhalmaza a ℤ halmaznak. T⊂ℤ+⊂ℕ⊂ℤ. Pedig a fenti halmazoknál még beszélhetünk szomszédos elemekről, ezt azonban a Q halmaz esetében nem mondhatjuk.
Könnyen belátható, hogy bármelyik két racionális szám, bármelyik két törtszám közé végtelen sok törtszám illeszthető. Minden pozitív racionális szám \( \frac{m}{n} \) alakú, ahol m, n∈ ℤ+. Helyezzük el a pozitív racionális számokat egy táblázatba: A táblázat első sorában az 1 nevezőjű egész számok, a második sorban a n=2 nevezőjű racionális számokat írjuk És így tovább. Ennek a halmaznak a számosságát kontinuumnyi számosságúnak mondjuk.
Összegzés
A HALMAZELMÉLET KIALAKULÁSA: Az ember által alkotott fogalmak közül különös érdeklődésre tarthat számot a végtelen fogalma, már csak azért is, mert csupa véges természetű tapasztalataink alapján egyáltalában kialakulhatott, ami nem is olyan magától értetődő. A véges halmazok régtől élő intuitív fogalma nem okozott különös problémát, de az már igen, hogy amikor Galilei minden négyzetszám alá egy természetes számot írt: 12 , 22 , 32 , 42 , 52 , 62 , ..., n2 , ... 1, 2, 3, 4, 5, 6, …, n, … és ezzel mintegy megszámlálta a négyzetszámokat, akkor ebből azt a következtetést lehetett levonni, hogy ugyanannyi négyzetszám van, mint ahány természetes szám. Dedekind felismerte, hogy a végtelen halmaz és annak végtelen részhalmazai közti Bolzano-féle egymáshoz rendelés az a művelet, amely a véges és végtelen halmazokat elválasztja, amely a végtelen halmazok definiálására alkalmas. Cantor Dedekindnél is tovább jutott. Felismerte a végtelen halmazok jellemző tulajdonságát, sőt továbblépve kifejtette, hogy léteznek végtelen halmazok, amelyek alapvetően különböznek egymástól. Először is két halmazt ekvivalensnek mondott, ha elemeik között kölcsönös és egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A véges halmaz tehát egyetlen valódi részhalmazával sem ekvivalens. A végtelen halmaznak pedig létezik olyan részhalmaza, amellyel ekvivalens. Azután bevezette a végtelen halmazok megszámlálhatóságának a fogalmát. Megszámlálható egy végtelen halmaz, ha elemei kölcsönös és egyértelmű módon társíthatók a természetes számokkal. A páros számok halmaza például megszámlálható halmaz, mert a: 2, 4, 6, 8, 10, 12, …, 2n, … 1, 2, 3, 4, 5, 6, …, n, … felírás szerint a páros számok kölcsönösen és egyértelmű módon hozzárendelhetők a természetes számokhoz. E tényt Cantor úgy is megfogalmazta, hogy a páros számok halmazának számossága akkora, mint a természetes számok halmazának számossága. E két halmaz ekvivalens, azaz számosságuk azonos. Minden olyan halmaznak, amelynek elemei ilyen sorozatba rendezhetők, vagyis megszámlálhatók, akkora a számossága, mint a természetes számok halmazának. Cantor kimutatta, hogy a racionális számok halmaza is megszámlálható. Ha ugyanis a racionális számokat felírjuk, és az 11 -től kezdve sorrendbe rendezzük, akkor világos, hogy a racionális számok a 11 , 21 , 13 , 11 , 22 , 31 , 41 , ... sorozatban rendeződnek. Az a lényegen nem változtat, csupán szépíti e sorozatot, ha azokat az elemeit nem írjuk fel, amelyek előbb már szerepeltek. Az eljárás azt is mutatja, hogy a megszámlálhatóan végtelen sok, megszámlálható végtelen halmaz egyesítése is megszámlálható.
tags: #megszamlalhato #vegtelen #torpe