A valós számok halmaza és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A valós számok halmaza végtelen, hisz tartalmazza a szintén végtelen számú természetes, egész és tört számokat, tehát összességében a racionális számok halmazát, valamint az irracionális számok halmazát. Az irracionális számok definíciója szerint nincs olyan szám, amely egyszerre racionális és irracionális lenne, és a két halmaz elemein kívül más nem tartozik a valós számokhoz.
A számhalmaz létrehozásában alapvető volt a görögök felfedezése, miszerint kettőnek a négyzetgyöke (a négyzetátló hosszának mérőszáma) nem racionális szám, bár pontos, matematikailag kielégítő definícióra a 19. A valós számok egy ekvivalens axiómarendszere a ha van felső korlát, akkor szuprémum is van helyett az arkhimédeszi axiómát és a Cantor-axiómát választja. Ha egy sorozat monoton nő és felülről korlátos, akkor konvergens. Hasonlóan, egy alulról korlátos monoton csökkenő sorozat is konvergens. George B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano: Thomas-féle Kalkulus I. Az diszkrét és folytonos esetek közötti egyetlen különbség az, hogy a diszkrét esetben Összegzést a folytonos esetben Integrált használunk.
Nézzük például a valószínűségi Tömegfüggvényt¹ és a Sűrűségfüggvényt². Ez eddig egyszerű, de mi van akkor, ha sokkal de sokkal több pontunk van a Tömegfüggvényben? És mi van ha mondjuk végtelen sok pont? Az elég folytonosnak látszik nem? Na mi ez? Igen-igen. A határozatlan integrálás célját általában úgy szokták bevezetni, hogy: “az görbék alatti területek kiszámítására való”. Ebből a hozzám hasonló egyszerű lelkek azt gondolják, hogy az integrál lényegeben egyfajta Összegzés: Van egy rakás végtelenül kicsi szélességű oszlopunk és összeadjuk a területüket. De milyen kicsi az a végtelenül kicsi oszlop szélesség?
Leibniz és Newton nemes egyszerűséggel nem foglalkoztak ezzel a kérdéssel, amiért sok kritikát kaptak később. Viszont mi megtesszük, nem mintha sokkal okosabbak lennénk, hanem mert mások már elvégezték a munkát számunkra és mindig könnyű más tollaival ékeskedni. Tehát mi legyen ez a végtelenül kicsi szám? Ha mondjuk az mondom hogy legyen a legkisebb pozitív Racionális szám? Vagy inkább a legkisebb pozitív Valós szám? Maga a definíciója a diszkrétnek megadja a választ erre a kérdésre. Diszkrét az ami megszámolható, a folytonos pedig nem. A folytonosság pedig alapfeltétele az integrálásnak. És ezzel elérkeztünk ahhoz, amiről lényegében írni szeretnék.
Van egy számhalmaz, ami definíciója szerint megszámolható, ez a Természetes számok halmaza (jele az N). Ezt nekem úgy tanították az általános iskolában, hogy a pozitív egész számok halmaza. Ezek a számok a 0, 1, 2, 3, 4 … számok, és a dolgok számosságát jelentik. Vagyis ha a Racionális számok (jele a Q) megszámolhatóak, akkor ez a vetítés lehetséges. De nincs itt valami ellentmondás? Legalább mintha így tanítanák: minden N benne van az Egész számok halmazában (jele a Z), és minden Z benne van a Racionális számok halmazában. Logikus. Nem. Ezt pedig először egy bizonyos Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor nevű német matematikus ismerte fel. trükk ott van, hogy minden megszámolható ami sorba rendezhető. ??? szemben. matematikába való bevezetésüket szintén Cantor-nak köszönhetjük. kérdésre válaszolunk vele. A Racionális számok pedig sorba rendezhetők. Ez nagyon érdekes. Ez azt bizonyítja, hogy ugyanannyi Természetes számunk van mint ahány Racionális számunk. Mennyi? Végtelen! De akkor miért nem megszámolhatóak a Valós számok? Igen! Ezt pedig a Átlós eljárással lehet könnyen bizonyítani.
Úgy néz ki Cantor lendületben volt a Racionális számok megszámolása után és úgy gondolta akkor megnézi hány darab Valós szám van. Mint kiderült ez nem megszámolható. Ehhez először azt bizonyította, hogy 0 és 1 között megszámolhatatlan sok van. A bizonyítás első lépésében felírunk egy rakás racionális számot egymás után. Pl. nulladik legyen a 0,236436775676…, az első mondjuk 0,098473294543… és így tovább. Tegyük fel, hogy rengeteg időnk van és felírjuk az összes (végtelen mennyiségű) lehetséges Racionális számot. Ezután vegyük a felírt számok átlóját, a fenti képen pirossal jelöltem ezt. Ez átlón szereplő számjegyek egy számot adnak nekünk. A fenti példában: 0,293233992132… Ebből a számból készíthetünk egy új számot, méghozzá úgy, hogy az minden számjegyét kicseréljük egy számra ami nem egyezik vele, és 0-val vagy 9-el.⁷
Például az első kettes helyébe írjunk 7-et (bármit írhatunk kivéve 2, 0 és 9), a második 9 helyébe mondjuk 4-et. A lényeg csak, hogy ne egyezzen. Mit tudunk az így kapott számról (a példában 0,746894310875…)? Nem egyezik a nulladik számmal, mivel az első tizedesnél eltér tőle. Nem egyezik az első számmal, mivel a második tizedesnél eltérnek … Vagyis nem egyezik egyik számmal se a listán. És mit jelent ez, ha felírtuk mind a végtelen mennyiségű Racionális számot? Pontosan! hogy több Valós szám van mint Természetes. diszkrét. Racionális szám között is végtelen számú Valós szám van. a.k.a. be: lusta vagyok. gondolkodom amin jó dolgos emberek nem. Tudom-tudom. van. De ez a különbség a számítás módjából következik. van szó. Miért diszkrimináljuk a 0 és 9 számjegyeket?
A valós számok halmaza és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. Ez a Birkhoff-féle "vonalzó"-axióma. A valós számok halmaza végtelen, hisz tartalmazza a szintén végtelen számú természetes, egész és tört számokat, tehát összességében a racionális számok halmazának és az irracionális számok halmazának unióját jelenti. Az irracionális számok definíciója szerint nincs olyan szám, amely egyszerre racionális és irracionális lenne, és a két halmaz elemein kívül más nem tartozik a valós számokhoz. (Vannak viszont számok, amelyek se racionális se irracionális számok, mert nem valós számok, a nagyságuk nem meghatározható a valós számegyenesen vett rendezéssel a 0-hoz képest, tehát nem 0, nem is pozitív és nem is negatív számok.
A számhalmaz létrehozásában alapvető volt a görögök felfedezése, miszerint kettőnek a négyzetgyöke (a négyzetátló hosszának mérőszáma) nem racionális szám, bár pontos, matematikailag kielégítő definícióra a 19. A Birkhoff-féle "vonalzó"-axióma miatt a valós számok halmaza alkalmas folytonos problémák megoldására. Ugyan a racionális számok halmaza is összefüggő, de nem teljes, azaz vannak racionális számokból álló sorozatok, melyek határértéke irracionális. Folytonos problémák esetén a közelítő megoldások egy valóban létező megoldást közelítenek. Ezt az elvet sokoldalúan alkalmazzák az analízisben, a geometriában és a topológiában. A hosszakat, felszíneket, felületeket, térfogatokat szintén emiatt definiálják valós számokként, és nemcsak a kör meg a gömb miatt.
A valós számok halmazának matematikai jele ℝ, TeXben \\R (), Unicode karakterkódja U+211D. A valós számok megalkotása a racionális számokból a 19. századi matematika fontos lépése volt, mivel lehetővé tette az analízis szilárd alapját. Az első pontos konstrukció Karl Weierstrasstól származik. Cauchy-sorozatok ekvivalenciaosztályai: Ez a konstrukció Georg Cantortól származik. Két Cauchy-sorozat ekvivalens, ha megfelelő tagjaik különbsége a nullához tart. Könnyen ellenőrizhető, hogy ez valóban ekvivalencia, és megállapítható, hogy a racionális számok által indukált összeadás és kivonás jóldefiniált. Ezekkel a műveletekkel a valós számok testet alkotnak. Mindezek a módszerek teljessé teszik a racionális számokat, és izomorfia erejéig ugyanahhoz a struktúrához vezetnek, a valós számok testéhez. A Cauchy-sorozatok metrikus térként topológiailag teszik teljessé a racionális számokat. Ezzel azonnal látható, hogy a racionális számok sűrűek a valós számok között, és minden Cauchy-sorozatnak van határértéke. Az intervallumskatulyázás a valós számok kiszámítását követi, és azt mutatja, hogy egy valós szám tetszőlegesen közelíthető racionális számokkal.
Tanuld meg a számok típusait - természetes, egész, racionális, irracionális, valós, képzeletbeli
tags: #valos #szamok #halmaza #megszamlalhatatlan