A teljes valószínűség tétele angolul: jelentése, képlete és kapcsolata a Bayes-tétellel

A „teljes valószínűség tétele” angolul law of total probability, illetve theorem of total probability. A „valószínűségszámítás” angol megfelelője probability theory; a „probability analysis” szintén előfordul, de matematikai értelemben a probability theory a természetesebb kifejezés.

A teljes valószínűség tétele azt fejezi ki, hogy egy esemény teljes valószínűségét egymást kizáró és az összes lehetőséget lefedő esetekre bontva, az egyes esetek valószínűségeinek súlyozott összegeként számíthatjuk ki.

A legfontosabb angol kifejezések

A „valószínűségszámítás” angol fordítása: probability theory, probability analysis are the top translations of „valószínűségszámítás” into English.

A „valószínűségszámítás” olyan matematikai terület, amelyben események bekövetkezésének esélyét vizsgáljuk.

A teljes valószínűség tétele és a feltételes valószínűség

A teljes valószínűség tételének alapja a feltételes valószínűség tétele, így ezzel fogjuk kezdeni.

Annak a valószínűsége, hogy A és B események egyszerre bekövetkeznek, megegyezik a B esemény valószínűségével és az A esemény bekövetkeztének valószínűségével, ha B már megtörtént.

Jelöléssel:

P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B)

A képletben a P(A ∩ B) annak a valószínűsége, hogy az A és a B esemény egyszerre következik be, a P(B) a B esemény valószínűsége, a P(A | B) pedig annak a valószínűsége, hogy A bekövetkezik, ha B már megtörtént.

A teljes valószínűség tételének képlete

Legyenek a B₁, B₂, …, B_n események egymást kizáró események, amelyek együtt lefedik a teljes eseményteret.

Ekkor bármely A esemény teljes valószínűsége:

P(A) = P(A | B₁) · P(B₁) + P(A | B₂) · P(B₂) + … + P(A | B_n) · P(B_n)

Rövidebb, összegző jelöléssel:

P(A) = ∑ P(A | B_i) · P(B_i)

A tétel lényege, hogy először felosztjuk az eseményteret különböző esetekre, majd minden esetben kiszámítjuk A bekövetkezésének feltételes valószínűségét, végül ezeket a megfelelő esetvalószínűségekkel megszorozva összeadjuk.

Egyszerű példa két érmével

Legyen két érménk, az A esemény legyen az, hogy az első érme fej, a B pedig az, hogy a második érme fej.

Az A és B esemény együttes bekövetkezése azt jelenti, hogy mindkét érmével fejet dobunk.

Tegyük fel, hogy ezek az érmék kicsit csalnak, és az első érme 60% valószínűséggel fej, ez lesz a P(A).

A második érme 30% valószínűséggel legyen fej, vagyis P(B) = 0,30.

Már csak a P(A | B) hiányzik.

Ez annak a valószínűsége, hogy ha a második érménk fej, akkor az elsővel is azt dobunk.

Befolyásolja a második érme eredménye az elsőt?

Nem, az első érme teljesen független a másodiktól.

Tehát ebben az esetben:

P(A | B) = P(A) = 0,60

A két érme esetében a két esemény együttes bekövetkezésének valószínűsége:

P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B) = 0,30 · 0,60 = 0,18

Vagyis annak valószínűsége, hogy a második érme fej lesz, és az első érme is fej lesz, 18%.

Példa két dobókockával

A második példában nézzünk egy olyan esetet, amikor A és B nem független egymástól.

Legyen két hatoldalú dobókockánk, és legyen az A esemény az, hogy a két kocka eredményének összege maximum 4.

A két kocka eredményeinek összesen 36 egyformán valószínű kombinációja van.

A két kocka eredményének összege akkor maximum 4, ha az összeg 2, 3 vagy 4.

Az ilyen kombinációk: (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1).

Ezért az esemény valószínűsége:

P(A) = 6/36 = 1/6

Most viszont a P(A | B) érdekesebb, mint az előző példában.

Ez annak a valószínűsége, hogy az első kockával olyan számot dobunk, ami kielégíti a feltételt.

Értelemszerűen ez az érték nagy mértékben függ attól, hogy a második kockával mit dobunk.

Ha például 1-et dobunk a második kockával, akkor 1-et, 2-t vagy 3-at dobhatunk az elsővel, hogy ez a feltétel teljesüljön, tehát ebben az esetben:

P(A | B = 1) = 3/6

Viszont ha 4-et dobtunk a második kockával, akkor:

P(A | B = 4) = 0

Nem tudunk olyan kis számot dobni, hogy a két kocka összege maximum 4 legyen.

A lehetséges kombinációkat egy táblázatban lehet a legjobban összefoglalni.

A teljes valószínűség tétele alapján az A esemény valószínűsége a feltételes valószínűségek súlyozott összege:

P(A) = P(A | B = 1) · P(B = 1) + P(A | B = 2) · P(B = 2) + P(A | B = 3) · P(B = 3) + P(A | B = 4) · P(B = 4) + P(A | B = 5) · P(B = 5) + P(A | B = 6) · P(B = 6)

Behelyettesítve:

P(A) = 3/6 · 1/6 + 2/6 · 1/6 + 1/6 · 1/6 + 0 · 1/6 + 0 · 1/6 + 0 · 1/6

P(A) = 3/36 + 2/36 + 1/36 = 6/36 = 1/6

Vagyis 1/6 a valószínűsége annak, hogy két kocka összege maximum négy.

A teljes valószínűség tétele és a Bayes-tétel kapcsolata

A feltételes valószínűség tétele megfordítható:

P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)

A fenti két kifejezés ugyanazt az együttes valószínűséget írja le:

P(B) · P(A | B) = P(A) · P(B | A)

Rendezzük át ezt egy kicsit:

P(A | B) = P(B | A) · P(A) / P(B)

Ez a híres Bayes-tétel.

A teljes valószínűség tétele gyakran a Bayes-tétel nevezőjének kiszámítására szolgál, amikor a B eseményt egymást kizáró hipotézisekre bontjuk:

P(B) = ∑ P(B | A_i) · P(A_i)

Ezután a Bayes-tétel segítségével meghatározható egy adott hipotézis megfigyelés utáni valószínűsége.

Bayes-i terminológia angolul

A Bayesian statisztikában a következő elnevezéseket szokták alkalmazni a képlet részeire:

A Bayes-tételt Thomas Bayes után nevezték el, aki először használta paraméterbecslésre az 1763-ban megjelent An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances című művében.

A Bayes-tétel alapját a feltételes valószínűség tétele szolgálja.

A három doboz paradoxona

Letesznek elénk három teljesen egyforma dobozt, amelyek közül kettő üres, a harmadikban pedig nyeremény van.

Kívülről nézve nem tudjuk megmondani, hogy melyik dobozban van a nyeremény, és a játék úgy indul, hogy választanunk kell a dobozok közül egyet.

Ha üres dobozt választunk, akkor nem kapunk semmit.

Viszont ha azt a dobozt választjuk, amelyikben a nyeremény van, akkor megnyerjük.

A három doboz közül egy nyer, így aztán a nyerési esélyünk 1/3, vagyis 33,3%, bármelyik dobozt választjuk is.

Válasszuk ki, mondjuk, a második dobozt.

Miután kiválasztottuk a második dobozt, a játékvezető megmutatja nekünk, hogy az első doboz üres.

Ezután megkérdezi tőlünk, hogy ennek az új információnak a birtokában biztosan maradunk-e a második doboznál, vagy nem választanánk-e inkább a harmadikat.

Jelen pillanatban egy nyerő és egy üres doboz maradt játékban, így logikusnak tűnik a gondolat, hogy mindkét megmaradt doboz nyerési esélye 50%.

A helyzet azonban az, hogy ez nem így van.

Meglepő, de kétszer akkora esélyünk van nyerni akkor, ha váltunk, és inkább a másik megmaradt dobozt választjuk.

Ha az általunk kiválasztott második doboz a nyerő, amire egyébként 33,3% esélyünk van, akkor az első és a harmadik doboz is üres, vagyis a játékvezetőnek teljesen mindegy, hogy melyiket mutatja meg.

Ám abban az esetben, ha az általunk választott második doboz üres, ami az esetek 66,7%-ában fordul elő, akkor a játékvezetőnek mindenképpen a másik üreset kell megmutatnia.

Amikor kezdetben üreset választunk, amire 66,7% az esély, akkor a játékvezető kiiktatja a rendszerből a másik üreset, és így ami marad, az nyer.

Ezért van az, hogy az esetek 66,7%-ában akkor nyerünk, ha váltunk.

A betegségteszt példája

Egy betegség a teljes lakosság 1%-át érinti.

A betegség kimutatására kifejlesztettek egy szűrővizsgálatot, amely 95%-os megbízhatósággal képes kimutatni valakiről, hogy beteg-e vagy sem.

Másként fogalmazva: 5% eséllyel téved.

A biztonság kedvéért elmegyünk erre a vizsgálatra, és hamarosan ki is derül az eredmény.

A vizsgálatot végző orvos közli velünk, hogy az eredmény: beteg.

A vizsgálat 95%-os megbízhatósággal működik, de vajon mekkora esélyünk van arra, hogy mégsem vagyunk betegek?

Talán 5%?

Azt tudjuk, hogy a lakosság 1%-a beteg, vagyis 100 emberből átlagosan 1 ember beteg.

A vizsgálat 95%-os megbízhatósága azt jelenti, hogy 100 emberből 5 esetben téved.

Átlagosan a 100 emberből 5 embert fog betegnek minősíteni.

Az 5 ember közül egy ember tényleg beteg, a másik 4 pedig a tévedés.

Az 5 ember közül, akiket betegnek mondott a teszt, 4 ember teljesen egészséges.

Másként fogalmazva: a 80%-uk teljesen egészséges.

Ha a teszt azt mondja, hogy betegek vagyunk, akkor 80% esélyünk van arra, hogy valójában mégis egészségesek vagyunk.

A példa azt mutatja, hogy a teszt pozitív eredménye nem azonos annak 95%-os valószínűségével, hogy az érintett személy valóban beteg.

Az eset egyik komoly tanulsága az, hogy ha egy teszt 95%-os, az nem azt jelenti, hogy 5% esélyünk van rá, hogy téved.

Most ugyanis a tévedés esélye 80%.

A másik fontos tanulság, hogy ez a teszt ugyan sok egészséges embert nyilvánít tévesen betegnek, viszont a betegeket elég jó eséllyel kiszűri.

Olyankor, amikor az a cél, hogy egy járványt minél hamarabb megállítsunk, gyakran használnak ilyen típusú olcsó teszteket.

Egy ilyen teszt 100 emberből 5 embert fog meg, és az 5 ember között jó eséllyel ott lesz az az egy, aki tényleg beteg, meg még 4 másik.

Erre az 5 emberre már lehet alkalmazni egy drágább és jóval kifinomultabb másik tesztet, amely képes kiszűrni, hogy ebből az 5 emberből ki az, aki tényleg beteg, és kik azok, akiknél vaklárma volt.