A Venn-diagram, vagy más elnevezéssel halmazábra, a halmazokat, azok viszonyait, méretét és műveleteit szemléltető diagram. Többnyire síkidomokat tartalmaz: köröket, téglalapokat, ellipsziseket. Használják az elemi halmazelmélet tanításában, a logikában, valószínűségszámításban, statisztikában, illetve a nyelvészetben. A diagramon általában körök jelölik a halmazokat, de általában bármely zárt Jordan-görbe is a diagram részévé válhat. A görbe belseje megfelel egy adott halmaz elemeinek, külseje az adott halmazba nem tartozó elemeknek. Háromnál több egymást mind metsző halmazt nem lehet csak körökkel ábrázolni. A szimmetrikus diagramokon nem lehet minden metszetet megtalálni, ezért más módot kell találni.
Maga Venn készítette az első konstrukciókat, majd A. W. F. Szimmetrikus diagram négy halmazra 13 mezővel. Edwards ötlete az volt, hogy a Venn-diagramot gömbfelszínen készíti el, majd kivetíti a síkba. Az első három halmazt három egymást metsző főkör határolja, a negyediké meg úgy kanyarog, mint teniszlabdán a varrat. I. A.W.F. Edwards (2004) Cogwheels of the Mind: the story of Venn diagrams, Johns Hopkins University Press, Baltimore and London. John Venn (1880). „On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings”. Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 10 (59), 1-18. o. Ez a szócikk részben vagy egészben a Venn diagram című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul.
F. Ruskey‑M. Halmazok, halmazműveletek. A számosság fogalma. 1.1. A különböző objektumok (dolgok, tárgyak, fogalmak stb.) bizonyos összességét halmaznak nevezzük. A halmaz és a halmazelem fogalmát alapfogalomnak tekintjük és nem definiáljuk (vö. A halmazokat rendszerint nagybetűkkel jelöljük, a halmazok elemeit pedig rendszerint kisbetűkkel. módon jelöljük. módon jelöljük. Egy probléma tárgyalása során mindig megadunk egy alaphalmazt (Kopasz 1996: 21). Egy halmazt akkor tekintünk adottnak (vagy meghatározottnak), ha bármely objektumról eldönthető, hogy eleme-e a halmaznak vagy sem (Bonifert-Kovácsné Győri 1987: 5). Egy adott halmaz esetében mindig feltételezzük, hogy a halmazelemek azonosságát ("egyenlőségét"), ill. különbözőségét tetszőlegesen kiválasztott két elem esetén bármikor el tudjuk dönteni. Ha egy halmaz végtelen sok elemből áll, az összes elem felsorolása nem lehetséges. Megszámlálhatóan sok elemet tartalmazó halmazok esetében például úgy járhatunk el, hogy a halmaz első néhány elemét felsoroljuk, és feltételezzük, hogy a halmaz többi elemét valamilyen (ismert) szabály alapján képezni tudjuk mint egy sorozat elemeit vagy tagjait. A halmaz elemeit közösen jellemző tulajdonságokat rendszerint úgy adjuk meg, hogy először az alaphalmaz egy tetszőleges elemét kijelöljük (pl. jel után (ritkábban a : jel után) felsoroljuk azokat a szűkítő tulajdonságokat vesszővel elválasztva, amelyek a halmaz elemeit jellemzik (pl. Ebben az értelemben a vessző a logikai 'és' műveletnek felel meg. szövegesen (ún. Legyen az alaphalmaz a természetes számok halmaza (ℕ) és ennek megfelelően jelöljenek az 'a', 'b', 'c', ..., 'q' szimbólumok ("változók") természetes számokat (a, ..., q∈ℕ). az ∃ ún. egzisztenciális kvantor jelentése: "van olyan", ill. legyen az alaphalmaz a természetes számok halmaza (ℕ) és ennek megfelelően jelöljenek az 'a', ..., 'k', ..., 'n' változók természetes számokat (a, ..., n∈ℕ). az ∀ ún. univerzális kvantor jelentése: "bármely olyan", ill. az ⊃ szimbólum az implikáció logikai műveletét jelöli. Jelentése: "ha ... akkor ...", ill. teljesül. A halmazok ábrázolása ún. Venn-diagrammal történhet (Bonifert-Kovácsné Győri 1987: 6), amely a halmazok elemeit és az ezeket tartalmazó részhalmazokat szemléltető (rendszerint színes) ábra. részhalmaz elemeinek felel meg). színeknek, ill. színkombinációknak kell megjelennie (egy "üres" téglalapban, amelynek "nincs színe").
és tételezzük fel, hogy a 'H ' halmaz elemei meghatározott tulajdonságokkal rendelkeznek. Feladat: keressünk olyan tulajdonságokat, amelyek alapján az A, B és C halmazok megadhatóak! A kérdések megválaszolásához természetesen tudnunk kell azt is, hogy mit szeretnek az egyes törpék; pl. 1.2. Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs, üres halmaznak nevezzük, és ∅ vagy {} módon jelöljük. A fenti következtetések esetében az "aláhúzás" az ok-okozati viszonyt fejezi ki a vonal felett álló logikai feltétel (premissza) és a vonal alatt álló következtetés között. Például az I. Két halmaz egyenlő, ha az elemeik megegyeznek. Emeljük ki, hogy ha az 'A' és 'B' halmazokra A⊆B és B⊆A egyszerre teljesül, akkor abból a fenti definíció szerint A=B következik.
valódi részhalmaz (R⊂A): az 'A' halmaznak az az 'R' nem üres részhalmaza, amely nem tartalmazza A összes elemét (azaz van az A halmaznak olyan eleme, amely nem eleme az R részhalmaznak). Világos, hogy a csupa 0-ból álló jelsorozat az üreshalmaznak (∅), a csupa 1-ből álló jelsorozat pedig magának az 'A' halmaznak felel meg. Mivel pedig minden különböző jelsorozatnak különböző R⊆A részhalmaz felel meg, az 'A' halmaz összes részhalmazának száma megegyezik az összes különböző B jelsorozat számával. 1.3. Legyen 'I' egy halmaz, amelynek az elemeit a továbbiakban vizsgálni akarjuk (például egy osztály tanulóinak a halmaza, a természetes számok halmaza stb.). Legyen A⊆I és B⊆I két tetszőleges halmaz. (3) komplementer vagy kiegészítő halmaz (másként ún. (Az A halmaz (I-re vonatkozó) komplementere az I alaphalmaz összes olyan eleme, amely az A halmaznak nem eleme. az A∖B különbséget pedig a 'B' halmaznak az 'A' halmazra (ill. Másképpen megfogalmazva: az A és B halmazok szimmetrikus különbsége pontosan azokat az elemeket tartalmazza, melyek vagy csak az A halmaznak, vagy csak a B halmaznak az elemei. (1) Tegyük fel, hogy A⊆B teljesül. Ekkor egyrészt A⊆A miatt A⊆A∩B teljesül, másrészt a metszetképzés definíciója miatt A∩B⊆A mindig teljesül. (2) Tegyük fel, hogy A=A∩B teljesül. Ekkor az egyenlőség definíciója⇒ miatt minden x∈A elem esetén x∈A∩B teljesül, ebből viszont a metszetképzés definíciója⇒ miatt x∈B teljesül. (A⊆B ⇔ (A∩B)=A) (q.e.d. 1.4. Legyen az 'I' halmaz alaphalmaz (ún. teljes halmaz), az A, B, C⊆I halmazok pedig az alaphalmaz tetszőleges részhalmazai. (Megjegyzés: a metszetképzés asszociativitása miatt egyszerűen A∩B∩C is írható. A kifejezés kiértékelése történhet pl. is írható. A kifejezés kiértékelése történhet pl. A fenti azonosságok egy részét beláthatjuk Venn-diagramokkal. 1. Bizonyítsuk be például az abszorpció első azonosságát. teljesül. teljesül. teljesül. teljesül. 2. Bizonyítsuk be az előző bizonyításhoz hasonlóan az abszorpció második azonosságát is. teljesül. teljesül. teljesül. teljesül. nyilvánvalóan teljesül. 3. teljesül. teljesül. Ekkor két lehetőség állhat fenn. teljesül. 4. teljesül. teljesül. Ekkor két lehetőség állhat fenn. teljesül. A fenti azonosságokat átalakíthatjuk úgy, hogy eredményül ismét érvényes azonosságokat kapunk (vö. (1) Egy azonosságban szereplő bármelyik (A, B, ...) változó minden előfordulását helyettesíthetjük egy adott kifejezéssel (ez az ún. helyettesítés elve). (2) Egy azonosságban szereplő bármelyik kifejezést kicserélhetjük ("pótolhatjuk") egy vele azonosan egyenlő kifejezéssel (ez az ún. pótlás elve). azonossághoz jutunk. módon is felírható. helyettesítést 'B' minden előfordulására (ld. cserét ("pótlást") a helyettesítés után kapott kifejezés jobb oldalán. A fenti átalakításokat használjuk olyankor, amikor két kifejezés azonosságát akarjuk levezetni. Balassa Zsófia (szerk.) 1996. Matematika feladatgyűjtemény az általános képzéshez a tanítóképző főiskolák számára. Birkhoff, Garrett - Bartee, Thomas C. 1974. A modern algebra a számítógép-tudományban. Bogya Norbert 2018. Elméleti összefoglaló a Diszkrét matematika I. gyakorlathoz. Bonifert Domokos - Kovácsné Győri Ida 1987. Matematika a tanítók intenzív továbbképzéséhez. Borsodi István 1972. A matematikai logika elemei. In: Borsodi István - Göndöcs László (szerk.) 1972. Borsodi István - Göndöcs László (szerk.) 1970. Matematika a tanítóképző intézetek első évfolyama számára. Borsodi István - Göndöcs László (szerk.) 1972. Matematika a tanítóképző intézetek harmadik évfolyama számára. Brindza Attila 1996. A természetes számok halmaza. In: Pappné Ádám Györgyi (szerk.) 1996. Csizmadia László 2009. Bevezetés az analízisbe. Dragálin Albert - Buzási Szvetlana 1986. Bevezetés a matematikai logikába. Dringo L. - Kátai I. 1986. Bevezetés a matematikába. Farkas Miklós (szerk.) 2001. Matematika. I. kötet. A matematika alapjai. Farkas Miklós - Fritz Józsefné - Kiss Ernőné 2000. Matematika. II. kötet. Egyváltozós valós függvények. (szerk. Bognár László - Forrai Gábor (szerk.) 2004. Esszéírás és Informális logika. Fried Ervin 1968. Algebra. In: Lukács Ernőné - Tarján Rezsőné (szerk.) 1968. Fried Katalin - Korándi József - Török Judit 2013. A modern algebra alapjai. Gémes Margit - Szentmiklóssy Zoltán 2015. Bevezetés a matematikába. Jegyzet és példatár kémia BsC-s hallgatók számára. Herendiné Kónya Eszter 2013. A természetes számfogalom alakítása. In: Herendiné Kónya Eszter (szerk.) 2013. Herendiné Kónya Eszter (szerk.) 2013. A matematika tanítása az alsó tagozaton. Kiss Andrea 1996. Logika, halmazok. In: Balassa Zsófia (szerk.) 1996. Kiss Emil 2007. Bevezetés az algebrába. Kopasz Éva 1996. Logika, halmazok. In: Pappné Ádám Györgyi (szerk.) 1996. Kozma László 2004. Matematikai alapok. Lavrov, I. A. - Maximova, L. L. 1987. Halmazelméleti, matematikai logikai és algoritmuselméleti feladatok. Lukács Ernőné - Tarján Rezsőné (szerk.) 1968. Matematikai kisenciklopédia. Margitay Tihamér 2014. Az érvelés mestersége. Miklovicz András 2018. Alapozó feladatok. Halmazok és logika 3. osztályosoknak. Monostory Iván (szerk.) 2006. Matematika példatár I-II. A matematika alapjai. Egyváltozós valós függvények. Nagy Gábor 2017. Diszkrét matematika 1. Obádovics J. Gyula 1972. Matematika. Középiskolai, technikumi tanulók, egyetemi hallgatók és technikusok számára, gyakorlati alkalmazásokkal. Pappné Ádám Györgyi 1996. A számfogalom bővítése. In: Pappné Ádám Györgyi (szerk.) 1996. Pappné Ádám Györgyi (szerk.) 1996. Matematika az általános képzéshez a tanítóképző főiskolák számára. Pintér Klára 2013. Pintér Klára 2013. Matematika I. Ruzsa Imre 1968a. Halmazelmélet. In: Lukács Ernőné - Tarján Rezsőné (szerk.) 1968. Ruzsa Imre 1968b. Matematikai logika. In: Lukács Ernőné, Tarján Rezsőné (szerk.) 1968. Matemaikai kisenciklopédia. Budapest: Gondolat K. 530-564. Sashalminé Kelemen Éva 2003. A matematikai logika és a halmazelmélet elemei. Szászné Virányi Katalin - Brindza Attila 1996. A természetes számok halmaza. In: Balassa Zsófia (szerk.) 1996. Szendrei János 1975. Algebra és számelmélet. Szendrei János - Tóth Balázs 1978. Logika a matematika szakos hallgatók részére. Budapest: Tankönyvk. Tallér József 1996. A logika alapjai. Vajda János 1996. Megfeleltetések, relációk, leképezések (függvények), sorozatok. In: Pappné Ádám Györgyi (szerk.) 1996. Vajda János 1996. A számfogalom bővítése. In: Balassa Zsófia (szerk.) 1996. Veress Róbertné 1996. Megfeleltetések, relációk, leképezések (függvények), sorozatok. In: Balassa Zsófia (szerk.) 1996. A matematikai logika alapjai. (Informatika 6. Mikulás mese gyűjteménye. Grimm legszebb meséi. Egész számok. Fa (adatszerkezet). Fibonacci-számok. Görög ábécé. Halmaz. Hasse-diagram. Háló (matematika). Hatványhalmaz. Hatvány. Logikai függvények. Osztályfelbontás. Páros és páratlan számok. A nulla paritása. Giuseppe Peano. Permanenciaelv. Polinom. Rendezett halmaz. Siklófélék. Symmetric difference. Számosság. Kardinális szám. Teljes indukció. Természetes számok. Tizedestört. Tree (set theory). Valós számok. Venn diagram. Venn-diagram. A halmazok és a rajtuk értelmezett műveletek jól szemléltethetők ( a J.Venn és Weitch matematikusról elnevezett ) diagramokkal is. A Veitch diagramban minden változóhoz a teljes halmaz (esemény-tér) fele, míg a másik térfél a változó tagadottjához tartozik. Az ábra négyváltozós halmazt ábrázol. A peremezésnél vonalak jelzi, hogy az egyes változók melyik térfélén IGAZ értékűek. Az ábrán a metszésnek (ÉS művelet) azt a változatát szemlélteti, amelyik mindegyik változó valamelyik értékének közös területe. Ez metszi ki a legkisebb elemi területet, ezért nevezik ezt mintermnek. A másik ábrán az összes változó valamely értékeihez tartozó együttes terület. Az egyesített terület a legnagyobb részterület, amelyet maxtermnek neveznek. Mind a két kitüntetett területből 2 az n.-en darab van, ahol n a változók száma.
