A piramis térfogata azt a helyet jelenti, amely a piramis belsejében található. A térfogat kiszámításához ismerni kell az alaplap területét és a piramis alaplapra merőleges magasságát.
A piramis térfogatának képlete: \(V=\frac{1}{3}Bh\), ahol \(V\) a piramis térfogata, \(B\) a piramis alaplapjának területe, \(h\) pedig a piramis alaplapra merőleges magassága. Ez a képlet minden olyan piramisra alkalmazható, amelynek alapja sokszög.
A piramis geometriai jellemzői
A piramis háromdimenziós test, amely síklapokból áll. Van egy alaplapja és háromszög alakú oldallapjai, amelyek egy pontban, a csúcsban találkoznak.
A függőleges magasság az alaplap és a csúcs közötti, az alaplapra merőleges szakasz hossza. Az alap lehet négyzet, háromszög, ötszög vagy hatszög alakú.
A térfogatképlet ugyanaz, függetlenül az alaplap alakjától. A piramis térfogata az azonos alapú és azonos magasságú hasáb térfogatának egyharmada.
A piramis térfogatának kiszámítása
- Számítsd ki az alaplap területét.
- Helyettesítsd be az értékeket a képletbe, majd végezd el a számítást.
- Írd le a választ a megfelelő mértékegységgel.
A térfogat mértékegysége köbegység, például köbcentiméter \(\text{cm}^{3}\), köbméter \(\text{m}^{3}\), köbmilliméter \(\text{mm}^{3}\) vagy köbláb.
Alapképlet és jelölések
| Jelölés | Jelentés |
|---|---|
| \(V\) | A piramis térfogata |
| \(B\) | Az alaplap területe |
| \(h\) | Az alaplapra merőleges magasság |
\(V=\frac{1}{3}Bh\)
Négyzet alapú piramis esetén az alaplap területe az oldalhossz négyzete: \(B=s^2\). Téglalap alapú piramisnál az alaplap területe a két oldallap-hossz szorzata: \(B=ab\).
Kidolgozott példák
1. példa: négyzet alapú piramis centiméterben
Számítsd ki annak a négyzet alapú piramisnak a térfogatát, amelynek alapéle \(4\ \text{cm}\), magassága pedig \(6\ \text{cm}\).
Az alaplap négyzet, amelynek oldalhossza \(4\ \text{cm}\).
\(\text{Az alap területe}=4\times4=16\ \text{cm}^{2}\)
\[V=\frac{1}{3}\times16\times6=32\ \text{cm}^{3}\]
A piramis térfogata \(32\ \text{cm}^{3}\).
2. példa: négyzet alapú piramis ábrával
Az alap egy \(7\ \text{cm}\) oldalú négyzet.
\(\text{Az alap területe}=7\times7=49\ \text{cm}^{2}\)
Az alap területe \(49\ \text{cm}^{2}\), a magasság pedig \(9\ \text{cm}\).
\[V=\frac{1}{3}\times49\times9=147\]
A térfogat: \(V=147\ \text{cm}^{3}\).
3. példa: téglalap alapú piramis
A téglalap alakú alap oldalai \(6{,}2\ \text{cm}\) és \(5{,}3\ \text{cm}\), a piramis magassága \(8{,}5\ \text{cm}\). Az eredményt egy tizedesjegyre kell kerekíteni.
\[\text{Az alap területe}=6{,}2\times5{,}3=32{,}86\ \text{cm}^{2}\]
\[V=\frac{1}{3}\times32{,}86\times8{,}5=93{,}10333333\]
\[V=93{,}1\ \text{cm}^{3}\]
A piramis térfogata \(93{,}1\ \text{cm}^{3}\).
4. példa: négyzet alapú piramis méterben
A négyzet alapú piramis alapéle \(8\ \text{m}\), merőleges magassága pedig \(12\ \text{m}\).
\[\text{Az alap területe}=8\times8=64\ \text{m}^{2}\]
\[V=\frac{1}{3}\times64\times12=256\]
A térfogat: \(V=256\ \text{m}^{3}\).
5. példa: négyzet alapú piramis milliméterben
A négyzet alapú piramis alapéle \(12{,}3\ \text{mm}\), magassága \(18{,}2\ \text{mm}\). Az eredményt két tizedesjegyre kell megadni.
\[\text{Az alap területe}=12{,}3\times12{,}3=151{,}29\ \text{mm}^{2}\]
\[V=\frac{1}{3}\times151{,}29\times18{,}2=917{,}826\]
\[V=917{,}83\ \text{mm}^{3}\]
A piramis térfogata \(917{,}83\ \text{mm}^{3}\).
6. példa: téglalap alapú piramis és középpont
Az \(ABCDE\) test egy téglalap alapú piramis. Az \(F\) pont az alaplap középpontja, közvetlenül az \(E\) csúcs alatt, a \(G\) pont pedig az \(AD\) szakasz felezőpontja. Adott, hogy \(EF=6\ \text{cm}\) és \(DG=2{,}5\ \text{cm}\).
Az alap téglalap, amelyben \(AD=2\times DG=5\ \text{cm}\), továbbá \(CD=4\ \text{cm}\).
\[\text{Az alap területe}=5\times4=20\ \text{cm}^{2}\]
\[V=\frac{1}{3}\times20\times6=40\]
A piramis térfogata \(40\ \text{cm}^{3}\).
Ismeretlen magasság meghatározása
Ha a térfogat és az alaplap területe ismert, a magasságot a térfogatképlet átrendezésével lehet kiszámítani:
\[V=\frac{1}{3}Bh\]
Mindkét oldalt megszorozva 3-mal, majd \(B\)-vel osztva:
\[h=\frac{3V}{B}\]
7. példa: magasság keresése
Számítsd ki annak a piramisnak a magasságát, amelynek térfogata \(40\ \text{cm}^{3}\), alaplapjának területe pedig \(12\ \text{cm}^{2}\).
\[40=\frac{1}{3}\times12\times h\]
\[40=4h\]
\[h=10\]
A piramis magassága \(10\ \text{cm}\).
8. példa: további magasságkeresés
Adott, hogy \(V=56\ \text{cm}^{3}\) és \(B=21\ \text{cm}^{2}\).
\[56=\frac{1}{3}\times21\times h\]
\[56=7h\]
\[h=8\]
A piramis magassága \(8\ \text{cm}\).
Vizsgafeladatok és megoldások
1. vizsgafeladat
Egy négyzet alapú piramis alapéle \(12\ \text{cm}\), merőleges magassága \(17\ \text{cm}\). Számítsd ki a piramis térfogatát, és add meg a mértékegységet.
\[V=\frac{1}{3}\times12^2\times17\]
\[V=816\ \text{cm}^{3}\]
2. vizsgafeladat
Egy piramis térfogata \(460\ \text{cm}^{3}\), alaplapjának területe \(200\ \text{cm}^{2}\). Számítsd ki a piramis magasságát.
\[h=\frac{3V}{B}=\frac{3\times460}{200}=6{,}9\ \text{cm}\]
A helyes válasz: \(6{,}9\ \text{cm}\).
3. vizsgafeladat: összetett test
Egy test egy téglatest tetejére helyezett piramisból áll. Számítsd ki az összetett háromdimenziós test térfogatát.
A téglatest térfogata:
\[6\times5\times4=120\]
A piramis térfogata:
\[\frac{1}{3}\times(6\times5)\times3=30\]
Az összetett test térfogata:
\[120+30=150\]
A teljes térfogat \(150\) köbegység.
Gyakorlófeladatok
1. gyakorlófeladat
Egy négyzet alapú piramis alapéle \(3\ \text{cm}\), magassága \(5\ \text{cm}\).
\[\text{Az alap területe}=3\times3=9\ \text{cm}^{2}\]
\[V=\frac{1}{3}\times9\times5=15\]
A térfogat \(15\ \text{cm}^{3}\).
2. gyakorlófeladat
Egy négyzet alapú piramis alapéle \(8{,}7\ \text{mm}\), magassága \(9{,}1\ \text{mm}\).
\[\text{Az alap területe}=8{,}7\times8{,}7=75{,}69\ \text{mm}^{2}\]
\[V=\frac{1}{3}\times75{,}69\times9{,}1=229{,}593\]
A térfogat egy tizedesjegyre kerekítve \(229{,}6\ \text{mm}^{3}\).
3. gyakorlófeladat
Egy négyzet alapú piramis alapéle \(6\ \text{m}\), magassága \(10\ \text{m}\).
\[\text{Az alap területe}=6\times6=36\ \text{m}^{2}\]
\[V=\frac{1}{3}\times36\times10=120\]
A térfogat \(120\ \text{m}^{3}\).
4. gyakorlófeladat
Egy négyzet alapú piramis alapéle \(3{,}5\ \text{cm}\), magassága \(7{,}2\ \text{cm}\).
\[\text{Az alap területe}=3{,}5\times3{,}5=12{,}25\ \text{cm}^{2}\]
\[V=\frac{1}{3}\times12{,}25\times7{,}2=29{,}4\]
A térfogat \(29{,}4\ \text{cm}^{3}\).
5. gyakorlófeladat
Egy téglalap alapú piramis alapjának oldalai \(7\) és \(5\), magassága pedig \(3\).
\[\text{Az alap területe}=7\times5=35\]
\[V=\frac{1}{3}\times35\times3=35\]
A térfogat \(35\) köbegység.
A piramis magassága és a ferde magasság
A piramis magasságának az alaplapra merőleges magasságnak kell lennie, nem pedig a ferde magasságnak. Ez az a szakasz, amely derékszöget zár be az alaplappal.
A ferde magasság az oldallapon, a csúcs és az alaplap egyik oldalának megfelelő pontja között mérhető. Felszín számításakor szükség lehet rá, de a térfogat képletében a merőleges magasságot kell használni.
A merőleges magasságot esetenként trigonometria vagy Pitagorasz-tétel segítségével kell meghatározni.
Példa: merőleges magasság ferde magasságból
Egy derékszögű négyzet alapú piramis felszíne \(150\ \text{in}^{2}\), négyzet alapjának oldala pedig \(6\ \text{in}\).
Az alap területe:
\[B=6\times6=36\ \text{in}^{2}\]
Az alap kerülete:
\[P=4\times6=24\ \text{in}\]
A felszín képlete: \(SA=B+\frac12Pl\), ahol \(l\) a ferde magasság.
\[150=36+\frac12(24)l\]
\[150=36+12l\]
\[114=12l\]
\[l=9{,}5\ \text{in}\]
Az alap oldalának fele \(3\ \text{in}\), ezért a merőleges magasság:
\[h=\sqrt{l^2-3^2}\]
\[h=\sqrt{9{,}5^2-9}=\sqrt{81{,}25}\approx9{,}0\ \text{in}\]
A piramis merőleges magassága körülbelül \(9{,}0\ \text{in}\).
Gyakori hibák
- A ferde magasság használata: a térfogat kiszámításához mindig az alaplapra merőleges magasságot kell használni.
- A köbös mértékegység elhagyása: a térfogatot \(\text{cm}^{3}\), \(\text{m}^{3}\), \(\text{mm}^{3}\) vagy más köbegységben kell megadni.
- Túl korai kerekítés: több lépésből álló számítás esetén ne kerekítsd az alaplap területét a köztes lépésekben.
- Helytelen kerekítés a végén: a végső eredményt a feladatban kért tizedesjegyre vagy értékes jegyre kell kerekíteni.
- Az alaplap területének összekeverése az alapéllel: a képletben \(B\), vagyis az alaplap területe szerepel, nem önmagában az alapél.
- Mértékegységek keverése: minden hosszúságot azonos mértékegységben kell használni, mielőtt a területet és a térfogatot kiszámítod.
Fordított feladatok és képletátalakítások
A térfogatképletből nemcsak a térfogat, hanem az alaplap területe vagy a magasság is meghatározható.
A magasság képlete:
\[h=\frac{3V}{B}\]
Az alaplap területének képlete:
\[B=\frac{3V}{h}\]
Négyzet alapú piramis esetén \(B\) az alaplap területe. Ha az alapél hosszát kell meghatározni, az alaplap területének négyzetgyökét kell venni:
\[s=\sqrt{B}=\sqrt{\frac{3V}{h}}\]
Az egyiptomi piramisok térfogatszámítása
A gízai nagy piramisok hozzávetőleges térfogata \(2\,600\,000\ \text{m}^{3}\). A gízai nagy piramis, a Menkauré-piramis és a Hafré-piramis csaknem 4600 évvel ezelőtt épült.
A gízai piramisok négyzet alapú piramisokként modellezhetők, ezért térfogatuk a következő képlettel számítható:
\[V=\frac{1}{3}bh\]
Ebben a képletben \(b\) a négyzet alakú alap területe, amely az alapél négyzetével egyenlő.
Menkauré-piramis
A Menkauré-piramis magassága körülbelül \(215\) láb, alapélének hossza körülbelül \(339\) láb.
Az alap területe:
\[b=339^2\]
A térfogat:
\[V=\frac{1}{3}\times339^2\times215\approx8\,240\,000\ \text{láb}^{3}\]
A Menkauré-piramis térfogata körülbelül \(8\,240\,000\ \text{láb}^{3}\).
Hafré-piramis
A Hafré-piramis térfogata körülbelül \(74\,400\,000\ \text{láb}^{3}\), alapélének hossza pedig \(706\) láb.
A magasság képlete:
\[h=3\times\frac{V}{b}\]
Az alap területe a megadott alapél négyzetével számítható ki. A megadott értékek behelyettesítése után a Hafré-piramis magassága körülbelül \(448\) láb.
Hufu-piramis
A Hufu-piramis térfogata körülbelül \(86\,700\,000\ \text{láb}^{3}\), magassága pedig \(455\) láb.
Az alap területe:
\[b=3\times\frac{V}{h}\]
Mivel \(b\) a négyzet alakú alap területe, az alapél hossza:
\[\sqrt{b}=\sqrt{\frac{3V}{h}}\]
A megadott értékekkel az alapél hossza körülbelül \(756\) láb.
A Hufu-piramis eredeti térfogata
A Hufu-piramis eredetileg \(26\) lábbal magasabb volt a jelenlegi \(455\) lábnál.
\[26+455=481\ \text{láb}\]
Az eredeti magasság \(481\) láb.
Az eredeti térfogat a megadott alap és az új magasság felhasználásával:
\[V=\frac{1}{3}bh\]
Az eredeti Hufu-piramis térfogata körülbelül \(91\,600\,000\ \text{láb}^{3}\).
A Hafré-piramis eredeti magassága
A Hafré-piramis eredeti térfogata körülbelül \(78\,300\,000\ \text{láb}^{3}\), alapélének hossza pedig \(706\) láb.
A magasságot a következő képlettel lehet meghatározni:
\[h=\frac{3V}{b}\]
A számítás eredménye szerint az eredeti magasság körülbelül \(471\) láb.
Hasonló testek és méretarányok
Ha egy hasonló test minden hosszméretét \(k\) számmal megszorozzuk, akkor a felszín \(k^2\)-szeresére, a térfogat pedig \(k^3\)-szorosára változik.
| Változás | Új érték |
|---|---|
| Minden hosszméret \(k\)-szoros | A felszín \(k^2\)-szeres |
| Minden hosszméret \(k\)-szoros | A térfogat \(k^3\)-szoros |
Ha egy háromdimenziós modell minden élét kétszeresére növeljük, akkor a térfogat nyolcszorosára nő.
Példa méretarányos változásra
Egy kocka felszíne \(54\ \text{cm}^{2}\), térfogata \(27\ \text{cm}^{3}\). Ha minden éle háromszorosára nő, akkor \(k=3\).
A felszín változása:
\[SA_{\text{új}}=54\times3^2=54\times9=486\ \text{cm}^{2}\]
A térfogat változása:
\[V_{\text{új}}=27\times3^3=27\times27=729\ \text{cm}^{3}\]
Az új felszín \(486\ \text{cm}^{2}\), az új térfogat pedig \(729\ \text{cm}^{3}\).
Sűrűség és tömeg térfogati feladatokban
A sűrűség a tömeg és a térfogat kapcsolatát fejezi ki. Az ilyen feladatokban a sűrűség, a tömeg és a térfogat mértékegységeinek egymással összhangban kell lenniük.
A térfogat kiszámítása önmagában a geometriai méretekből történik, de ha a piramis anyagának tömegét vagy sűrűségét is vizsgálni kell, a térfogatot a megfelelő sűrűségi képletben kell felhasználni.
Ezért különösen fontos a mértékegységek átváltása, például a köbcentiméter és a köbméter, illetve a gramm és a kilogramm közötti kapcsolat ellenőrzése.
Összetett testek térfogata
Ha egy test több alaptestből áll, minden részt külön kell kiszámítani, majd a térfogatokat össze kell adni vagy ki kell vonni.
Egy hasábra helyezett piramis esetén a teljes térfogat:
\[V_{\text{teljes}}=V_{\text{hasáb}}+V_{\text{piramis}}\]
A piramis térfogata továbbra is:
\[V_{\text{piramis}}=\frac{1}{3}Bh\]
A számolás során ügyelni kell arra, hogy az összetett test minden részénél azonos mértékegységeket használjunk.
Rövid vizsgai ellenőrzőlista
- Azonosítsd a piramis alaplapjának alakját.
- Számítsd ki az alaplap területét.
- Ellenőrizd, hogy a megadott magasság merőleges magasság-e.
- Használd a \(V=\frac{1}{3}Bh\) képletet.
- Ismeretlen magasság esetén használd a \(h=\frac{3V}{B}\) képletet.
- Ismeretlen alaplap-terület esetén használd a \(B=\frac{3V}{h}\) képletet.
- Négyzet alapnál az alapél meghatározásához vond négyzetgyök alá az alaplap területét.
- A köztes lépésekben ne kerekíts túl korán.
- A végső eredményt a kért pontossággal add meg.
- A térfogat mértékegysége mindig köbegység legyen.