A „befogó tétel” angolul: cathetus theorem

A „befogó tétel” angolul cathetus theorem. A derékszögű háromszögekre vonatkozó arányossági tételek között ezt a tételt gyakran a magasság tétellel együtt említik.

A „befogó” angol megfelelője leg vagy pontosabban cathetus, míg az „átfogó” megfelelője hypotenuse. Ezért a „befogó tétel” matematikai szövegben leginkább cathetus theorem, magyarázóbb formában pedig the theorem on the geometric mean of a leg and its projection onto the hypotenuse.

A legfontosabb angol kifejezések

A „befogó” és az „átfogó” angolul

Az „átfogó” egyik angol fordítása hypotenuse, vagyis a derékszöggel szemközti oldal. Az „átfogó” más jelentésben a comprehensive vagy az overall szóval is fordítható, de geometriai szövegben kizárólag a hypotenuse használatos.

A derékszögű háromszög két, derékszöget bezáró oldalát angolul általában legs néven nevezik. Szakszerű matematikai szóként a cathetus is használható, ezért a „befogó tétel” pontos elnevezése cathetus theorem.

A „befogó tétel” angol nyelvű magyarázatában a leg természetesebb és gyakoribb lehet, míg a cathetus a tétel elnevezésében és formális matematikai szövegekben pontosabb.

A befogó tétel állítása angolul

Az állítás angolul a következőképpen fogalmazható meg: In a right triangle, the square of a leg is equal to the product of the hypotenuse and the orthogonal projection of that leg onto the hypotenuse.

Magyarul: derékszögű háromszögben a háromszög befogójának négyzete egyenlő az átfogó és a befogónak az átfogóra eső merőleges vetületének szorzatával.

A befogó tétel képletei, ha az átfogó jele c, a befogók jele pedig a és b:

• a² = c · y
• b² = c · x

Ha a „befogó” angol megfelelőjeként a leg szót használjuk, akkor a képlet szövegesen így írható le: The square of one leg equals the product of the hypotenuse and the projection of that leg onto the hypotenuse.

A tétel geometriai jelentése az, hogy minden befogó az átfogó és a hozzá tartozó, átfogóra eső merőleges vetület mértani közepe.

A jelölések angol magyarázata

Az ABC derékszögű háromszögben az AB oldal az átfogó, vagyis hypotenuse. Az átfogóhoz tartozó magasság a háromszöget két derékszögű háromszögre, az ATC és a BTC háromszögekre bontja.

Az ABC háromszögben az „a” befogónak az átfogóra eső merőleges vetülete a BT szakasz, amelyet y jelöl, míg a „b” befogónak az átfogóra eső merőleges vetülete az AT szakasz, amelyet x jelöl.

Angolul ezek a következőképpen nevezhetők meg: az altitude to the hypotenuse az átfogóra állított magasság, a projection of a leg onto the hypotenuse pedig a befogó átfogóra eső vetülete.

A befogó tétel bizonyítása

Az AB átfogóhoz tartozó magasság az ABC háromszöget két derékszögű háromszögre, az ATC és a BTC háromszögekre bontja. Ezek a háromszögek mindketten hasonlítanak az eredeti ABC háromszöghöz, mivel ezek is derékszögűek, és az egyik hegyes szögük közös.

Az ATC háromszögben az α szög, míg a BTC háromszögben a β szög közös. Emiatt a két kisebbik háromszög egymásra is hasonlít.

Az angol matematikai megfogalmazásban ez így adható vissza: The altitude to the hypotenuse divides the original triangle into two right triangles, and both smaller triangles are similar to the original triangle.

Tehát: ABCΔ ~ ATCΔ ~ BTCΔ.

Az ABC háromszög és a BTC háromszög hasonlóságából következik, hogy a megfelelő oldalak aránya egyenlő. Azaz: AB:BC = BC:TB, vagyis c:a = a:y.

Ebben az aránypárban a c oldal az ABC háromszögben az átfogó, míg a BTC háromszögben az a oldal az átfogó. Az aránypárt szorzat alakba írva:

a² = c · y

Ez azt jelenti, hogy az „a” befogó az átfogó és az átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepe:

a = √(c · y)

A tételt a másik „b” befogóra hasonlóképpen lehet belátni:

b² = c · x

Kapcsolat a Pitagorasz-tétellel

A befogó tétel segítségével a Pitagorasz tételének egy újabb bizonyításához jutunk. Hiszen:

• a² = c · y
• b² = c · x

Ezért:

a² + b² = c · y + c · x

c-t kiemelve:

a² + b² = c · (y + x)

Mivel y + x = c, ezért:

a² + b² = c²

Ez éppen a Pitagorasz-tétel: a derékszögű háromszög befogóinak négyzetösszege megegyezik az átfogó hosszának négyzetével.

Angolul: In a right triangle, the sum of the squares of the legs equals the square of the hypotenuse.

Mintafeladat a befogó tétel alkalmazására

A feladat: a derékszögű háromszög átfogójához tartozó magasság az átfogót harmadolja, és a háromszög legkisebb oldala 4 cm. Mekkora a többi oldal?

A feltételek szerint az ábra jelöléseit használva:

• AT = x
• TB = y = 2x
• AC = b = 4

Mivel c = x + y, ezért:

c = 3x

A befogó tétel szerint:

b² = c · x

A b = 4 és c = 3x értékek behelyettesítésével:

4² = 3 · x · x

Azaz:

16 = 3 · x²

Ebből:

x = 4/√3

Mivel c = 3x, ezért:

c = 12/√3

A nevezőt gyöktelenítve:

c = 12 · √3 / 3 = 4 · √3

A hosszabbik „a” befogó már a Pitagorasz tételével is számolható:

a² = c² − b²

Ezért:

a² = (4 · √3)² − 4² = 48 − 16 = 32

Tehát:

a = 4√2

A feladat eredményei

A számítás angol nyelvű összefoglalása: Using the cathetus theorem, the hypotenuse is 4√3 cm, and the longer leg is 4√2 cm.

tags: #befogo #tetel #angolul