Zénón paradoxonai: az állítás és a tagadás feszültsége

Zénón paradoxonjai olyan érvelések, amelyek egy hétköznapinak vagy magától értetődőnek tűnő állításból annak tagadásához vezetnek. A legismertebb mozgásparadoxonok azt próbálják megmutatni, hogy ha a mozgást, a teret és az időt bizonyos módon értelmezzük, akkor ellentmondás keletkezik: a mozgó tárgy minden pillanatban egy meghatározott helyen van, mégsem lehet pusztán ebből eldönteni, hogy mozog-e vagy áll.

A paradoxon nem egyszerűen hibás következtetés. Az előbbi igaz, de váratlan, meglepő tétel, az utóbbi pedig helytelen, hamis, de igaznak tűnő következtetésekkel nyert „felfedezés”. A paradoxon az állítás és a tagadás határhelyzetét teszi láthatóvá: arra kényszerít, hogy megvizsgáljuk a használt fogalmak jelentését, a premisszák érvényességét és a következtetés logikai szerkezetét.

Mit jelent a paradoxon?

paradox (a gör. para, 'mellett' és doxa, 'dicsőség', 'elfogadott vélemény' szóból): olyan állítás, amely szemben áll valamely, a közvélemény által elfogadott igazsággal. - A kifejezést S. Franck Paradoxa (Ulm, 1534) c. kv-ében használja először. Nem tévesztendő össze az →antinómiával, amely valaminek a belső ellentmondásaira mutat rá, a ~ lényege viszont az, hogy a látszólagos →evidenciával áll szemben.

Így a ~onok kérdése elvezet a →bizonyosság fil. problematikájához. Már a Szókrátész előtti gör. bölcs. is rámutatott arra, hogy a tagadás, a kételkedés (és így a ~) kitűnő eszköz lehet a bizonyosság keresésében. Ennek ellenére a ~ sokáig inkább csak stilisztikai eszköz maradt. Manapság nagy szerepe van a →logika megújulásában (→logisztika, matematikai logika).

A definíció szerint az olyan állításokat nevezzük paradoxonnak, amelyek ellentmondásra vezetnek, a következtetés, amelyet levonunk belőlük, ellentmond a józan ész logikájának. Amellett, hogy nyilvánvalóan bosszantók ezek a fejtörők, azért sokszor nagy hasznot tettek az emberiségnek azok, akik rávilágítottak egy-egy paradoxonra, mert amikor néhányat később megoldottak, azok nagy tudományos áttörésekhez vezettek.

A matematika ugyanazt az ellentmondásos világot tükrözi, mint bármely más tudomány, így természetes, hogy a matematika története is bővelkedik érdekes, izgalmas paradoxonokban, sőt igen gyakran éppen a paradoxonok lettek a későbbi nagy változások kiindulópontjai.

Zénón és a mozgás megkérdőjelezése

Eleai preszókratikus filozófus (Kr.e. 5. század első fele). Platón Parmenidés c. dialógusában Parmenidés oldalán tűnik fel, és ott említett művében Parmenidés tanítását veszi védelmébe.

Az attikai népben a filozófus állításai őszinte hitetlenkedést váltottak ki. Emiatt az ehhez hasonló érveléseket paradoxonnak nevezték el, mely az ógörög váratlan szóból ered.

Nyolc ismert paradoxonja maradt fenn, ezek közül a legismertebb Akhilleusz és a teknős versenyfutása. (Eredeti munkásságát sajnos nem ismerjük, elméleteit Arisztotelész művei és Platón dialógusai őrizték meg)

A fennmaradt elméletek alapgondolata az a megosztó állítás, hogy a mozgás valójában nem létezik, csak illúzió.

A források és beszámolók alapján két jól megkülönböztethető paradoxonsorozat köthető a nevéhez. Azt nem tudjuk, hogy a kétféle paradoxonsorozat, az ún. sokaság- és mozgásparadoxonok valamiképpen összetartoztak-e.

Az első sorozat antinómiáiban - amellyel a platóni Parmenidésben is találkozunk - Zénón amellett érvel, hogy sokaság nem létezik, mert akkor ellentmondásokhoz jutnánk. Ezzel indirekt módon bizonyítja Parmenidés tételét, vagyis azt, hogy a mindenség egy.

A második sorozatot, az ún. négy mozgásparadoxont, amelyek Zénón filozófiai hírnevét megalapozták, Aristotelés részletesebben ismerteti (Fizika, 6. könyv, 9. fejezet, 239 b 5 skk.).

• a „stadion”-paradoxon: nem lehet eljutni egy adott táv végpontjáig, mert először a táv feléig, majd a táv felének a feléig, majd a táv felének a felének a feléig kell eljutni, és ez a sorozat a végtelenségig folytatódik,
• a teknős-paradoxon: Achilleus soha nem tudja lefutni a teknőst, ha a teknősnek előnyt ad, mert először odáig kell eljutnia, ahonnan a teknős indult, miközben a teknős már továbbhaladt, majd odáig, ahol a teknős az előbb volt, de eközben a teknős ismételten továbbhaladt, és így tovább),
• a nyíl-paradoxon: a nyíl minden egyes pontja minden egyes időpillanatban egyetlen térbeli helyet foglal el, tehát a nyíl álló helyzetben van, ha viszont minden egyes időpillanatban álló helyzetben van, akkor nem mozog,
• a mozgó sorok paradoxona: ez a paradoxon egymással szemben és egymáshoz képest mozgó tárgyakból vezeti le a mozgás ellentmondásosságát.

Habár az egyes érvek pontos rekonstruálása több ponton is problematikus, a paradoxonok jelentősége vitathatatlan. Szerkezetük sokszor hasonló, céljuk a mozgás, ill. a sokaság lehetetlenségének reductio ad absurdum típusú érvekkel (vagyis valamilyen lehetetlen és/vagy abszurd következményre történő következtetéssel) történő bizonyítása.

A Zénón által mindkét paradoxonsorozatban használt argumentáció annak az indirekt érvelésnek egyik legelső és legnagyszerűbb példája, amelyet a korabeli görög matematika is használt: p-állítás bizonyítása annak megmutatásával, hogy p negációjából lehetetlen és/vagy abszurd állítások következnek.

A paradoxonok tartalmilag a végtelen, a végtelen oszthatóság, a diszkrét és a kontinuus mennyiségek közötti viszony, és a mindennapi valóságérzékelés és a tér és idő filozófiai értelmezése közötti ellentmondásos viszony problémáit fogalmazzák meg.

Akhilleusz és a teknős paradoxona

Megbízhatunk-e az érzékszerveink által tapasztalt valóságban? Sok filozófus vetette már fel a kérdést, eltérő következtetésekre jutva. Az egyik leghíresebb gondolatkísérlet a témában Akhilleusz és a teknős története.

A fiktív történet szerint a szórakozott teknős versenyfutásra hívja ki Akhilleuszt, a görög harcost. Akhilleusz teljesen biztos a győzelmében, ezért nagyvonalúan előnyt ad ellenfelének.

A tapasztalatainkkal ellentétben Zénón szerint a görög félisten sosem érheti utol, és főleg nem előzheti meg a teknőst, a matematika szabályai szerint. Ugyanis abban egyetértünk, hogy Akhilleusznak időbe telik eljutni addig a pontig, ahonnan a teknős indult.

Emellett abban is egyetérthetünk, hogy a teknős ez idő alatt, a saját tempója szerint, valamennyi távolságot meg tud tenni. Akhilleusz és a teknős paradoxonja innentől válik érdekessé.

Amíg a harcos eléri azt a pontot, ahol a teknős korábban tartózkodott, az állat újabb és újabb távokat tesz meg. Ezt a sort a végtelenségig lehet folytatni, ilyen módon kettejük között mindig lesz valamekkora távolság.

Tehát Akhilleusz nemhogy megelőzni nem tudja a teknőst, még utolérni is képtelen. A görög filozófus szerint, a tudásunkban, ez egy ellentmondás a mozgással kapcsolatban.

Ellentmondás már pedig nem létezhet, ezért mozgás sem létezik.

A végtelen sor és a véges idő

Zénón gondolata azon a hamis feltételezésen alapul, hogy végtelen sok szám összege nem lehet véges szám. Ma már tudjuk, hogy ez lehetséges.

Emiatt a végtelen sok időszelet összege egy véges időt ad meg, ami alatt a hős utolérheti a teknőst. Ha több ideje van, meg is előzheti.

Az ilyen típusú sorokat konvergens soroknak nevezzük.

A végtelen sorok matematikai területe újabb fontos felfedezésekre a XIX. században jutott, egy K. Weierstrass nevű matematikus kutatásaiból kiindulva. Bebizonyították, hogy a végtelen sorok az alábbi három módon viselkedhetnek: véges összegük van; minden határon túl nőnek vagy csökkennek; ugrálnak értékek között, ezért összegük nem tart meghatározható irányba.

Szemléltetésként, itt egy fortélyos kocsmáros esete: Végtelen számú matematikus megy be a kocsmába. Megszólal az első: - Kérek egy korsó sört! Rendel a második is: - Kérek egy fél korsó sört! Folytatja a harmadik: - Kérek egy negyed korsó sört! A kocsmárosnak itt elege lesz és közbevág - A nénikétekkel szórakozzatok! - és kirak két korsó sört.

A fenti cáfolatot sokan bírálták már ellentmondásossága miatt. Többek között, a konvergens sorok elméletével azt is elfogadjuk, hogy a távolságokat végtelenül kis egységekre is fel tudjuk darabolni.

Ahogyan a modern fizika bizonyította, ez nem lehetséges. Van ugyanis olyan kicsi távolság, az Planck-hossz, melynél kisebb távolságot mérni lehetetlen.

A nyíl paradoxona: állítás és tagadás

A nyíl-paradoxon középpontjában egyetlen állítás és annak tagadása áll:

• A nyíl mozog.
• A nyíl minden pillanatban egy meghatározott helyen van.
• A nyíl minden pillanatban ott van, ahol van, egy pillanat alatt semmit sem halad.
• A nyíl semelyik pillanatban nem halad, tehát semelyik pillanatban sem mozog.
• A nyíl nem mozog.

Nyilvánvaló az ellentmondás (1) és (5) között.

A nyíl minden egyes pontja minden egyes időpillanatban egyetlen térbeli helyet foglal el, tehát a nyíl álló helyzetben van, ha viszont minden egyes időpillanatban álló helyzetben van, akkor nem mozog.

Ez az érvelés azt a benyomást kelti, mintha a mozgás és a nyugalom kizárnák egymást, miközben a mozgás leírása minden pillanatban egy hely meghatározását követeli meg. A kérdés tehát az, hogy abból, hogy egy tárgy egy adott pillanatban egy adott helyen van, következik-e, hogy abban a pillanatban nyugalomban van.

A paradoxon formális rekonstrukciója

Tegyük fel, hogy a nyíl mozog, amely feltevésünket (1)-el jelölöm, és a csillag arra utal, hogy ez puszta feltevés, nem pedig logikai igazság. Az újabb és újabb feltevéseket újabb csillag oszloppal jelölöm.

*(1) A nyíl t1 időpillanatban mozog.

**(2) A nyíl minden t időpillanatban a pálya meghatározott s helyén van.

***(3) A nyíl t1 időpillanatban s1 helyen van. (2)

***(4) Ha a nyíl mozog, akkor egy időtartományban van.

***(5) Ha egy nyíl nem idő tartományban van, akkor nem mozog. (4)

****(6) Egy időpillanat soha nem egy idő tartomány.

****(7) A t1 időpillanat nem időtartomány (6)

****(8) A nyíl t1 időpillanatban nem időtartományban van. (7)

****(9) A nyíl t1 időpillanatban nem mozog. (5) (8)

****(10) A nyíl t1 időpillanatban mozog és a nyíl t1 időpillanatban nem mozog. (1) (9)

Mivel t1 időpillanat tetszőleges volt, bármely időpillanatra nézve ellentmondásra jutunk. Ellentmondásra jutottunk, tehát feltéve hogy a levezetés minden lépése helyes, egy vagy több kiinduló föltevést - premisszát - el kell vessünk.

Melyik premissza vitatható?

Vegyük sorra a csillaggal megjelölt új sorokat, azaz a premisszáinkat, melyeket most római számokkal jelöltem:

• (I.) A nyíl t1 időpillanatban mozog.
• (II.) A nyíl minden t időpillanatban a pálya meghatározott s helyén van.
• (III.) Ha a nyíl mozog, akkor egy időtartományban mozog.
• (IV.) Egy időpillanat soha nem egy idő tartomány.

Az utolsó premissza cáfolhatatlannak tűnik. Miért? Azért mert az időpillanat egy már tovább nem osztható valami, az időtartomány viszont folytonos időt feltételezve, mindig tovább osztható.

Valami tehát vagy időpillanat, vagy időtartomány. Ez azonban nem zárja ki, hogy egy időtartomány időpillanatokból áll, csak a fogalmi különbségre utal.

Diszkrét időt feltételezve a legrövidebb időtartomány két egymást követő időpillanat, folytonos időt feltételezve viszont nem értelmezhető a valamely időpontra rákövetkező időpillanat.

(Ne keverjük össze a folytonost a folyamatossal. Utóbbi mind folytonos mind diszkrét időben értelmezhető.)

A második premissza is megingathatatlannak tűnik. Ha a nyíl pályáját valamely s függvény írja le az időben, akkor a függvény argumentum értékeire értelmezve van a függvény értéke, tehát minden t időpontra van olyan y, hogy y=s(t).

A helyzet tehát a következő: vagy (I) -et kell elvessük, és akkor Zénónnak igaza van, vagy (III.)-kell elvessük, ekkor Newton követői vagyunk.

A mozgás matematikai magyarázata

Valójában azt állítja, hogy ha a nyíl t1 időpillanatban s1 helyen van, akkor a nyíl áll.

Az alábbi két ábra közül az egyik a t1 helyen álló, a másik a t1 helyen mozgó nyílt ábrázolja. Meg tudjuk-e mondani, hogy melyik a kettő közül a mozgó nyíl ábrája, a balra, vagy a jobbra mutató nyíl?

Nem tudjuk, mert azt sem tudjuk megmondani, hogy melyik ábrázolja az állót.

A probléma a következő. Egy pillanat alatt a nyíl semennyit sem tud előrehaladni, csakhogy ebből mégsem következik, hogy abban a pillanatban a nyíl sebessége nulla.

Ez ellentmond a józan észnek, mégis igaz.

Az út, a sebesség és az idő

Elemi iskolai tananyag, hogy: út = sebesség * idő.

Ez így azért nem elég pontos, pontosabban így fest: a nyíl által megtett út = a nyíl sebessége * az eltelt idő.

Képlettel: s=v * t.

Zénón abból, hogy s=0 arra következtetett, hogy akkor v=0, azaz a nyíl áll.

Ez azonban hibás következtetés, mert ez csak az egyik lehetőség, a másik lehetőség az, hogy az eltelt idő, azaz t=0 és a sebesség viszont nem nulla.

Ezért téves volt a következtetése, de Zénón sem az ilyen formulákat, sem a sebesség fogalmát nem ismerte, így neki nem róható föl a tévedés.

A derivált és az adott pillanatbeli sebesség

Középiskolás fokon még precízebben és általánosabban fogalmazhatunk. A nyíl helyét miden időpillanatban megadja az s út-idő függvény egy T időtartományban, de mi írja le a sebességét?

Feltéve, hogy a nyíl út-idő függvénye T időtartomány minden pillanatában differenciálható, a nyíl sebességét az s függvény s’ derivált függvénye írja le T időtartományban.

A derivált függvény ekkor minden időpillanatban megadja a nyíl sebességét, legalábbis a newtoni fizika szerint.

Tehát igenis értelmezhető a nyíl sebessége minden időpillanatban, nem csak egy időtartományban.

A nyílnak van sebessége minden időpillanatban, és a nyíl akkor áll valamely t időpillanatban, ha a sebesség függvény értéke abban a t időpillanatban nulla, mozog más esetben.

Amikor pl. a nyílvessző visszapattan, akkor egy pillanatra megáll, hasonlóan egy pattogó labdához.

Ugyanakkor amennyiben csak egyetlen időpontban ismerjük a nyíl helyét, az alapján nem tudjuk meghatározni a pályáját leíró függvényt, és így a sebesség függvényét sem.

Ha csak egyetlen hely-időpont értéket ismerünk, az alapján nem határozható meg a függvény abban a pontban lévő differenciál hányadosa, mivel nem meghatározható az ahhoz a függvény értékhez tartozó érintő.

Ha nem határozható meg az érintő, akkor a sebesség sem határozható meg, azaz nem tudjuk, hogy a nyíl áll vagy mozog.

Ezért nem tudunk a fenti két ábra között választani.

Az állítás és a tagadás logikai szerkezete

Elmondom természetes nyelven, és pontosabb, félig formalizált nyelven is. A jobboldali zárójelbe tett szám azt mutatja, hogy - állítólag - miből következik a mondat.

1. A nyíl mozog.
2. A nyíl minden pillanatban egy meghatározott helyen van és minden része teljesen kitölti a rendelkezésére álló helyet.
3. A nyíl minden pillanatban ott van, ahol van, egy pillanat alatt semmit sem halad.
4. A nyíl semelyik pillanatban nem halad, tehát semelyik pillanatban sem mozog.
5. A nyíl nem mozog.

Nyilvánvaló az ellentmondás (1) és (5) között.

Az ellentmondás azonban nem feltétlenül abból következik, hogy maga a mozgás ellentmondásos fogalom. Lehetséges, hogy a következtetés egy olyan premisszát használ, amely összekeveri a pillanatnyi helyet a pillanatnyi sebességgel.

Az egyetlen időpillanatban elfoglalt helyből nem következik a mozgási állapot. A helyzet ismerete és a változás ütemének ismerete két különböző információ.

Ezért a „a nyíl egy adott pillanatban egy adott helyen van” állítás nem azonos azzal az állítással, hogy „a nyíl az adott pillanatban áll”.

Ruzsa Imre szerint Zénón a tér és idő atomos szerkezetének föltevéséből a mozgás lehetetlenségére következtet. Csakhogy az ellentmondás levezetésekor nem hivatkoztunk az idő vagy a tér folytonos vagy diszkrét (atomos) természetére.

A lényeg abban van amit később ír: „Tehát abból, hogy ’a P pont a t időpontban a tér (x,y,z) koordinátájú pontjában van’, a P pont nyugalmi vagy mozgási állapotára nem lehet következni,…”

A newtoni megoldás

A jobb oldali zárójelbe tett számok mutatják hogy miből következik a sor, mellette az szerepel, hogy milyen megfontolások alapján.

* (1) A nyíl minden t időpillanatban van valahol.

* (2) A nyílnak minden t időpillanatban van s(t) helye. (1) józan ész

* (3) Létezik a nyíl s út-idő függvénye. (2) matematika

** (4) Tegyük fel hogy a nyíl út-idő függvénye minden időpillanatban differenciálható. Ez a második premissza a klasszikus fizika föltevése

** (5) Létezik a nyíl sebességét leíró s’ derivált függvény. (4) matematika

** (6) A nyílnak minden t időpillanatban meghatározott az s’(t) sebessége, amelyik lehet nulla, vagy nem nulla; azaz minden időpillanatban létezik a nyíl sebessége. (5) fizika

(7) Ha a nyíl minden t időpillanatban van valahol, és az út-idő függvénye deriválható, akkor abból, hogy valamely t1 időpillanatra a=s(t1) nem következik, hogy 0=s’(t1). (1) (4)

A newtoni fizika megoldása csak akkor vitatható, csak akkor pusztán egy a lehetséges megoldási javaslatok közül, ha vitatható, hogy a nyíl minden t időpillanatban van valahol vagy az út-idő függvénye deriválható.

Utóbbi kérdésben a fizika kompetens, a filozófia illetékességi köre arra korlátozódik, hogy a nyíl minden t időpillanatban van valahol.

Megkérdőjelezhető-e ez utóbbi álláspont? Úgy gondolom nem, és ezért a klasszikus fizika megoldása sem kérdőjelezhető meg.

Mindebből az következik, hogy a nyíl paradoxon nem bizonyítja a mozgás ellentmondásos mivoltát, és föltéve, hogy az ellentmondásos fogalmak terjedelme üres, nem cáfolja meg a mozgás tulajdonságának létét.

Zénón paradoxonjai és a végtelen

A zénóni érvek egyik központi kérdése, hogy miként viszonyul egymáshoz a végtelen sok rész és az egész.

Az első sorozat antinómiáiban - amellyel a platóni Parmenidésben is találkozunk - Zénón amellett érvel, hogy sokaság nem létezik, mert akkor ellentmondásokhoz jutnánk.

Például egy Simplikiosnál (az aristotelési Fizikához írt kommentárjában, 140.28) fennmaradt töredék alapján abból az érvből jut el Zénón az ellentmondáshoz, hogy ha sok dolog van, akkor 1) ugyanazok véges sokan, de egyszersmind 2) végtelen sokan vannak.

A Simplikios töredék azért is jelentős, mert a dilemma mindkét (1. és 2.) ága mellett felhozott érvet is közli, ezáltal betekintést nyújt a zénóni módszerbe.

Az újkor a matematika minden ágában seregnyi paradoxont szült az algebrai egyenletek megoldhatóságától kezdve a Bolyai-féle geometriáig.

Érdekes, hogy a végtelen paradoxonairól a prágai Bernard Bolzano már a múlt század első felében egy teljes könyvet írt Paradoxien des Unendlichen (A végtelen paradoxonai) címmel, pedig a végtelen igazi paradoxonai csak Georg Cantor-nak a végtelen halmazok elméletére vonatkozó 1872-es felfedezéseit követően mutatkoztak meg.

A század vezető matematikusai: Gauss, Cauchy, Kronecker, Poincaré és mások elutasították a tényleges („aktuális”) végtelen fogalmát, a végtelennek csak szimbolikus értelmet tulajdonítottak.

A modern matematika alapköve viszont éppen a tényleges végtelen fogalmát használó Cantor-féle halmazelmélet, bár a „horror infiniti” azóta sem szűnt meg, sőt a felvetődött paradoxonok csak növelték a „finitisták” táborát.

Van azonban ennek az egyszerű tételnek egy megdöbbentő következménye. Tekintsük az összes halmazok "halmazát"! Nyilván ennek a hatványhalmaza nagyobb számosságú, mint az eredeti, ahogyan azt az imént igazoltuk, csakhogy az összes halmazok halmazának hatványhalmaza szintén halmaz, minekutána ott van az összes halmazok halmazában.

Azt kaptuk tehát, hogy egy részhalmaz számossága nagyobb az eredeti halmaz számosságánál, ami lehetetlen.

Ez a paradoxon, mely a századelőn megrengette az egész matematikát, nem más, mint egy indirekt bizonyítás arra, hogy az összes halmazok halmaza már nem alkot halmazt, hanem valami egészen más dolgot, de hogy micsodát, azt egyelőre ne firtassuk.

A paradoxon, a fallácia és a bizonyítás

Igen fontos, hogy különbséget tegyünk a paradoxon és a fallácia között. Az előbbi igaz, de váratlan, meglepő tétel, az utóbbi pedig helytelen, hamis, de igaznak tűnő következtetésekkel nyert „felfedezés”.

Mind a paradoxon, mind a fallácia igen vonzó és tanulságos lehet, ez a könyv azonban elsősorban paradoxonokkal foglalkozik.

A paradoxonokra többnyire úgy gondolunk, mint érdekes és élvezetes gondolati játékokra, amik azonban csak látszólagos ellentmondást jelentenek, ha valódiak, hiszen a valóságban ellentmondás nem létezhet.

Így már a paradoxonokra gondolás is egyfajta paradoxont jelent (amennyiben a paradoxonok valódiságából következtetünk azok látszólagosságára) - ami viszont egy újabb paradoxon, hiszen ha paradoxonokra csak paradoxonok segítségével gondolhatunk, akkor ha az előbb még nem gondoltunk paradoxonokra, akkor már egyáltalán nem gondolhatunk, hiszen ehhez eleve rendelkeznünk kell egy paradoxonnal.

Ha a paradoxonokban nemcsak az önmegtagadást élvezzük, ahogy mai, öntagadó korunkban divatos, hanem képesek vagyunk a paradoxonok saját belső természetére és üzenetére figyelni, lehullhat előttünk a paradoxonok örökre letéphetetlennek feltüntetett leple.

És az önmaga farkába harapó kígyó, az ördögi körök és az önmagukat tagadó állítások csapdájából eljuthatunk a kettős természetű, égi és földi fényben egyaránt fürdő logikai rejtélyek olyan valóságos üzenetének megértéshez, ami egyben a világ ősteremtésének megértéséhez is közelebb vihet bennünket.

Önmagukat tagadó állítások

Epimenidész hazugságparadoxona

„Minden krétai hazudik” - mondta egy krétai. Ez a krétai pedig állítólag Epimenidész görög filozófus volt, akinek a kijelentése számos problémát vet fel.

Mert mi ezzel az egyszerű mondattal a baj? Hogy sehogy sem igaz.

Ha egy krétai, aki azt állítja, hogy minden krétai hazudik, és ő maga igazat mond, akkor az a helyzet, hogy mégis csak van egy krétai, aki igazat mond, tehát nem minden krétai hazudik.

Ha pedig ő maga hazudik, az azt jelenti, hogy nem minden krétai hazudik.

Egyszóval, ez így sehogy sem jó.

A kártyaparadoxon

Van két kártyánk, az egyszerűség kedvéért nevezzük el az egyik oldalát A oldalnak, a másikat B oldalnak.

A kártya A oldalán az a mondat olvasható, hogy „a B oldal állítása hamis”, a B oldalon pedig, hogy „az A oldal állítása igaz”.

Ezzel pedig bele is kerültünk egy végtelen ellentmondás-hurokba, ugyanis, ha azt vesszük alapul, hogy az A oldal megállapítása valós, akkor a B oldalét is el kell fogadnunk, de egyszerre a két oldal nem lehet igaz.

Valamelyik állítás mindig hamissá válik, így nem lehet feloldani ezt az ellenmondást.

A Pinokkió-paradoxon

Hasonló ehhez a Pinokkió-paradoxon: itt Pinokkió azt állítja, hogy nőni fog az orra.

Igen ám, de ha tényleg nő az orra, akkor a fafiú igazat mondott, tehát nem kellene nőnie.

Ha viszont nem nő, akkor hazudott, tehát nőnie kellene, amivel pedig az az eset állna fenn, hogy Pinokkió mégis igazat mondott, tehát nem kellene nőnie az orrának… és ez így mehet a végtelenségig.

A nagypapa-paradoxon

A nagypapa-paradoxon arról szól, hogy ha visszautazom az időben, és megölöm a saját nagyapámat gyerekkorában, akkor ebből következik ugye, hogy én sem fogok megszületni.

De ha nem születek meg, akkor hogyan tudok visszamenni az időben, hogy megöljem a nagyapámat?

Filozófiai, vallási és társadalmi paradoxonok

A toleranciaparadoxon

Tolerálni valamit azt jelenti, hogy elviselünk, megtűrünk olyan dolgokat is, amik nekünk esetleg nem tetszenek, sőt kifejezetten negatív véleménnyel vagyunk róluk.

Egy toleráns társadalomnak elviekben mindent, az intoleránsokat is tolerálnia kellene, hiszen akkor lehetnének csak teljeskörűen toleránsak.

Igen ám, de ebből az következne, hogy azt is tolerálnák, hogy az intoleránsok átveszik a hatalmat, többségbe juttatva az ő intoleráns nézetüket, ezzel felszámolva a toleráns társadalmat.

Úgyhogy ironikus és paradox módon a toleráns társadalom az intoleranciával is kénytelen intoleráns lenni.

A mindenhatósági paradoxon

Ha valaki mindenható, akkor az azt jelenti, hogy mindenre van befolyása, ő irányít mindent.

Joggal adódik tehát a kérdés, hogy ha Istenről azt mondja a keresztény egyház, hogy mindenható, akkor hogyan létezhet szabad akarat.

De hogy elvonatkoztassunk a vallástól: egy mindenható létre tudni hozni egy olyan sziklát, amit ő maga képtelen megemelni?

Ha igen, nem mindenható, hiszen nem tudja megemelni.

Ha nem, akkor szintén oda a mindenhatói státusza, mert van, amit nem tud létrehozni.

És akkor még azt nem is kérdeztem, hogy mi történik, ha a megállíthatatlan golyó nekimegy az elmozdíthatatlan és törhetetlen falnak…

A hit paradoxona

A misztikusok mindig is szívesen éltek paradoxonokkal. Ma egyre nyilvánvalóbbá válik a teol-ban, hogy a kinyilatkoztatás olyan titkokat tartalmaz, amelyek ~ak (pl. megtestesülés, kegyelem).

A ~ alkalmazása nem jelenti azt, hogy a teol. le akar mondani a →megértésről (vö. Credo, quia absurdum, 'azért hiszek, mert a dolgok érthetetlenek'), hanem tudatában van annak, hogy a szó teljes értelmében transzcendens valóságról (→transzcendencia) próbál képet alkotni.

A teol-n belül sajátos irányt képvisel a ~-krisztológia, amely Krisztus titkára alkalmazza a ~ kategóriáit (S. Kierkegaard, K. Barth, P. Althaus, W. Künneth).

KIERKEGAARD ÉS ÁBRAHÁM, avagy a hit paradoxona. A Félelem és reszketés témája az "etikum teleologikus felfüggesztése", a hit paradoxona, az etikai stádiumból a vallásosba való átmenet.

A vallásos stádiumban az egyén rájön arra - félelemmel és reszketéssel, - hogy minden választása önkényes, hogy választania kell, szabadságra ítéltetett - élve a Sartre-i kifejezéssel -, segítségre, garanciára, hogy jól választott nem számíthat.

A legautentikusabb választás amit az egyén tehet az az Istenben való hit - elismerve ezzel, hogy minden választásunk végül is abszurd.

Amikor az etikumban megtapasztaljuk a semmit, amikor minden más lehetőség el van zárva előlünk, rájövünk, hogy az egyetlen megoldás a hit mozdulata, ugrása.

A hit azonban paradox, minden racionalitásnak ellentmond, a hívő racionálisan felfoghatatlan ideáknak szenteli magát, az abszurd világába lép, ugrik.

A paradoxon szerepe a tudományban

A legtöbb tudomány története - a matematikáé is - paradoxonok története. A legnagyobb felfedezések általában a legnagyobb paradoxonokat oldják meg (gondolhatunk itt akár Darwin-ra, akár Einstein-re), és eközben gyakran újabbakat szülnek.

Szókratész tanítási módszere, amely paradoxonokon keresztül vezetett új igazságok felismeréséhez, éppen azért a legmélyebben gyökerező tanítási módszer, mert magának a megismerésnek az útja is paradoxonokra épül.

A Menón-paradoxon, amelyre Platón mutatott rá, a következő: "ha tudjuk egy probléma megoldását, akkor nincs probléma, ha viszont nem tudjuk a megoldást, akkor nem tudjuk, hogy mit keresünk és nem is várhatjuk el, hogy találjunk valamit."

Platónnak a Menónban adott válasza szerint az ideák világára való "visszaemlékezés" segít a megoldás felkutatásában.

Ezt a megfoghatatlan ideák világára emlékezést szeretné Polányi egy plauzibilisebb folyamattal felváltani a dinamikus intuíció vezérelte felfedezés segítségével "törekedhetünk a tudományos felfedezésre anélkül, hogy tudnánk mit keressünk, mivel a mélyülő összefüggés felé mutató irány megmutatja nekünk, hogy hol kezdjük, merre forduljunk és végül olyan pontra vezet, ahol megállhatunk és jogot formálhatunk a felfedezésre"

"a tudományos problémák nem meghatározott feladatok. A tudós csak nagy vonalakban ismeri célját és a növekvő koherencia intuíciójára kell támaszkodnia, hogy elvezesse a felfedezéshez."

"Bár egy probléma megoldása olyasmi, amivel korábban sohasem találkoztunk, a heurisztikus aktusban mégis az elveszett golyóstollhoz, vagy a jól ismert, de elfelejtett névhez hasonló szerepet játszik. Úgy keressük, mintha ott lenne, eleve adottan."

"A kétfajta problémamegoldás, a szisztematikus és a heurisztikus különbsége abban a tényben is megjelenik, hogy míg egy szisztematikus művelet teljes egészében akaratlagos aktus, a heurisztikus folyamat aktív és passzív szakaszok kombinációja."

A véletlen matematikai paradoxonjai

A könyv célkitűzése pontosan az, hogy a napjainkban egyre erőteljesebben felfelé ívelő és egyre szélesebb körben alkalmazásra kerülő véletlen matematikájának paradoxonokra épülő fejlődését mutassa be, azokat az izgalmas pillanatokat, amelyek egy-egy kiemelkedő felfedezést megelőztek vagy követtek és amelyeket a szűkszavú monográfiák egyre gyakrabban mellőznek.

Nemcsak tudományos érdekességekről lesz szó, „mazsolákról”, amelyek messze távol esnek a tudomány fő fejlődési vonalától, hanem éppen azokról az ellentmondásokról, amelyek legtöbbje alapvető tévhiteket ingatott meg.

Egy paradoxonokra épülő könyvnek természetesen bizonyos történetiséget kell követnie, hiszen, ami paradoxon volt száz évvel ezelőtt, az nem biztos, hogy paradoxon ma is.

A kockázás paradoxona

A véletlennel kapcsolatos matematikai megfontolások - például a szerencsejátékosok ősi „aranyszabályai” - igen hosszú múltra tekinthetnek vissza, de valószínűségszámítási kérdések és paradoxonok írásba foglalása csak az újkor hajnalán kezdődött.

Bár a véletlen matematikájának ma már alig van több köze a szerencsejátékokhoz, mint például a geometriának a földméréshez, kétségtelen, hogy a legelső paradoxonokat a széles körben elterjedt szerencsejátékok szülték.

A szerencsejátékok közül egészen a középkor végéig a kockázás volt a legelterjedtebb.

A legrégibb valószínűségszámítással foglalkozó könyvnek Girolamo Cardano (1501-1576): Liber de Ludo Aleae [Könyv a kockajátékról] című művének is jelentős részben a kockajáték a témája.

Így történhetett, hogy bár a kockázás paradoxonának megoldását már Cardano is leírta, ugyanezt a problémát Galilei is vizsgálni kezdte, és külön tanulmányban foglalkozott vele, amelyet valamikor 1613 és 1623 között írt.

Paradoxonok a matematikai statisztikában

A statisztika csak a polgári forradalmak után vált igazi tudománnyá. Úttörői John Graunt (1620-1674) és William Petty (1623-1687).

A XVII. század óta a matematikai statisztika fokozatosan a matematika önálló ágává fejlődött, amelynek fő célja: minél megbízhatóbb hasznosítható információt nyerni a felmérési, megfigyelési és mérési adatokból: a statisztikai mintából.

Ahogyan Juvenalis szerint „nehéz szatírát nem írni”, úgy a statisztikában is nehéz paradoxont nem találni.

A tapasztalat szerint kevés tudományterületet övez annyi félreértés és paradoxon, mint a statisztikát.

Egy tréfa szerint, 1901-ben a Harvard egyetem hallgatónőinek 33 százaléka professzoraihoz ment férjhez. Igaz is, mindössze három lány járt akkor az egyetemre, s közülük egy valóban professzorné lett.

Helyes az állítás, de félrevezető a beállítás.

Ha egy országban az egyetemekre rendszeresen pl. 20%-kal több fiút vesznek fel, mint lányt, és feltételezzük, hogy a felvételizők egyforma felkészültségűek, akkor ebből általában azt a következtetést szokták levonni, hogy a felvételi bizottságok a fiúkat részesítik előnyben.

Pedig igen gyakori eset, hogy a lányok nagyobb arányban jelentkeznek a divatosabb szakokra, ahol lényegesen nagyobb a visszautasítási arány, ezért annak ellenére, hogy minden szakon arányosan vesznek fel fiúkat és lányokat, végül is sokkal több lesz a fiú egyetemista.

Nem kevésbé félrevezető, pontosabban félreértelmezhető L. P. Ayres 1913-ban készített szövegelemzése, amelyben megállapítja, hogy a leggyakoribb 50 szó az általa vizsgált teljes szöveg kb. 50%-át teszi ki, a leggyakoribb 300 szó a szöveg 75%-át, a leggyakoribb ezer szó pedig már 90%-át.

Ennek alapján azonban egyáltalán nem szabad arra gondolni, hogy ha valaki egy nyelv 50 vagy akár 100 szavát ismeri, akkor már „félig érti” a nyelvet, hiszen például a gyakran előforduló névelők ismerete alig segít a szövegek tényleges megértésében.

Talán éppen a matematikai statisztika paradoxainak megértése segít ahhoz, hogy a statisztikai ködösítéseken átlássunk, megértsük a valóban hasznos, sőt nélkülözhetetlen statisztikai következtetéseket, és megtaláljuk a kulcsfontosságú információkat.

A véletlen folyamatok paradoxonjai

A véletlen folyamatok - görög eredetű szakkifejezéssel: sztochasztikus folyamatok - matematikai vizsgálatában az első jelentős eredmények csak a múlt században születtek meg.

A XVII-XVIII. században - főként a klasszikus mechanika sikereire építve - a determinisztikus folyamatok vizsgálata vált a kutatások fő irányává.

Ebben az időben alakult ki az a „mechanikus determinista” tudományszemlélet is, amely a véletlent azonosította a lényegtelennel, s azt a célt tűzte ki, hogy a véletlent lehetőleg kiiktassa az alaptudományokból.

A múlt század második felében viszont fokozatosan minden alaptudományban, a statisztikus fizika révén a fizikában is, tért hódított a véletlen folyamatok matematikája, a XX. századi kvantumfizikában pedig alapvető szerepet kapott.

Minél mélyebb szintre jutott el egy-egy tudományág a megismerés folyamatában, annál világosabbá vált a sztochasztikus folyamatok nélkülözhetetlen szerepe.

A valószínűségszámítás megalapozása

Az 1900-as párizsi Nemzetközi Matematikai Kongresszuson David Hilbert a matematika legfontosabb 23 megoldatlan problémája között sorolta fel a valószínűségszámítás megalapozását is.

A századfordulóra a valószínűségszámításnak már igen sok kiemelkedő eredménye volt, de éppen a megalapozottság hiánya miatt nem kapcsolódott szervesen a matematika többi ágához.

Számos matematikus - különösen E. Borel, A. Lomnitzky és H. Steinhaus - kutatásaira építve végül is A. N. Kolmogorov 1933-ban a halmaz- és mértékelmélet segítségével felépítette a valószínűségszámítás szabatos elméletét.

Fizikai paradoxonok: üresség és telítettség

Az üresség-telítettség paradoxon. A Schrödinger egyenleg kétségtelenül a valóság egy mélyebb szintjének összefüggéseire mutat rá, amit az is alátámaszt, hogy itt már a hétköznapi gondolkodás számára képtelenségnek tűnő bizonyos paradox ellentmondások feloldódnak.

Példaként tekintsük az alábbi két, egymásnak ellentmondani látszó kijelentést:

1. A tömör, szilárd anyag által elfoglalt tér gyakorlatilag tejesen üres.
2. A légüres tér, vagyis a vákuum zsúfolásig telítve van anyagi részecskékkel.

Einstein és a fény paradoxona

Einstein a speciális relativitáselmélet megalkotása előtt nem is ismerte a Michelson-Morley féle kísérletet, 1905-ben megjelent cikkében nem is hivatkozik rá.

Önéletrajzából kiderül, hogy azt tízévnyi elmélkedés után fedezte fel egy olyan paradoxon segítségével, mely már 16 éves korában foglalkoztatta.

Ez a következő volt: ha egy fénysugarat c sebességgel (a fény vákuumbeli sebessége) követünk, akkor egy térben oszcilláló, nyugalomban lévő mezőként lehetne a fénysugarat észlelni.

Az EPR-paradoxon

Már Einstein is foglalkozott a kvantumteleportálás lehetőségével, bár szerinte elfogadhatatlan volt az a magyarázat, miszerint a részecskék viselkedése csak a véletlen törvényszerűségeivel írható le.

Einstein, Podolsky és Rosen közös értekezésben írták le a Bohr-féle valószínűségi értelmezés megcáfolását, melyet később csak EPR-paradoxon néven illettek.

Kisebb kaliberű emberek esetében egy „no, ez nem ment” sóhajtás meg egy vállrándítás lett volna a dolog vége, az ő esetükben azonban megszületett az Einstein-Podolsky-Rosen-paradoxon: mégis a Koppenhágai Iskolának van igaza!

Ennek ellenére a paradoxon alkalmasnak bizonyult (kigondolói akaratától függetlenül és utólag) a kvantumteleportáció kivitelezésére, és elvileg megnyitotta az utat a kvantumszámítógépek tervezése irányában.

A paradoxon mint gondolkodási forma

A paradox gondolkodásmód a világot feloldhatatlan ellentétekben látja. A paradoxonban a valóság tükröződik, tehát csak látszólagos ellentmondást jelent.

Mindenesetre eltér a szokásos gondolkodástól, hiszen meghökkentő hatást kiváltó logikai ellentétekben látja a világ lényegét és ábrázolja a polgári világ válságjelenségeit.

A figurák legtöbbször paradoxonnal jellemezhetők, a paradoxon módszere teszi átélhetővé az idea maximálisan éles megjelenítését a karakterben.

Dürrenmatt rendetlenség által uralt, zűrzavaros, kaotikus világot ábrázol.

Hősei - a vak herceg, Akki, Möbius, Romulus - "mind bátor emberek. Szívük mélyén helyreáll a felborult világrend" (Dürrenmatt Arckép helyett című írásából).

A rendetlenség tehát az egyéni szabadság létezésének zálogává válik, Dürrenmattnál az egyén lehetőséget kap a helytállásra.

De a moralista írói magatartású Dürrenmatt tanításának egyik alapköve, hogy "közös ügyeinket csak együttesen oldhatjuk meg" és "közös ügyeink egyéni megoldására minden kisérlet hiábavaló" (A fizikusok című drámájához fűzött híres 21 pontból).

A paradoxon történeti jelentősége

A deduktív matematika kialakulása szempontjából például döntő jelentőségű volt az a felfedezés, hogy - ellentétben a püthagoreus felfogással, amely szerint „minden dolgok lényege az egész szám” - léteznek olyan távolságok (például egy négyzet átlója és oldala), amelyek aránya nem egész szám és nem is egész számok aránya, vagyis a püthagoreus értelemben nem is szám (mai szóhasználattal nem racionális szám).

Ez az ún. összemérhetetlenségi paradoxon vezetett el egyrészt a püthagoreus iskola felbomlásához, a számok „mindenható” szerepének átmeneti háttérbe szorulásához és a világ új alapjának, a geometriának euklideszi útjához, valamint Platón idealizmusának matematikai megalapozásához, amelyet matematikai idealizmusnak is nevezhetnénk.

A középkori matematika legnagyobb paradoxona, hogy a „semmit”, a nullát is célszerű „valaminek” tekinteni és jelölni is valamivel, mert ezáltal válik lehetővé a számolás lényeges leegyszerűsítése: az indiai-arab helyi értékes számírás.

Az újkor hajnalán a negatív, majd a komplex számok okozták a legtöbb paradoxont.

Egyikük szerint például lehetetlen, hogy (-1) : 1 = 1 : (-1) legyen, hiszen kisebb számnak egy nagyobbhoz viszonyított aránya nem lehet egyenlő egy nagyobb számnak egy kisebbhez viszonyított arányával.

A véletlen, a végtelen és a világkép

Ugyanúgy mindmáig nem szűnt meg a félelem a véletlentől sem.

A végtelen és a véletlen matematikai paradoxonai egyebek mellett azért is rendkívül lényegesek, mert e két fogalom kihat egész világszemléletünkre, filozófiai gondolkodásunkra.

A legnagyobb felfedezések általában a legnagyobb paradoxonokat oldják meg (gondolhatunk itt akár Darwin-ra, akár Einstein-re), és eközben gyakran újabbakat szülnek.

Einstein paradox megfogalmazása szerint „a világban az a legérthetetlenebb, hogy érthető”.

Annyi minden bizonnyal igaz, hogy egyre érthetőbb, és ez a véletlen világára, a véletlen matematikájára is érvényes.

tags: #zen #paradoxon #allitas #tagadas